Google
Câu hỏi: Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng ${{a}^{2}}\sqrt{2}.$ Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích $S.V$ bằng
A. $SV=\dfrac{3{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}}{2}.$
B. $SV=\dfrac{3\sqrt{3}{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}}{2}.$
C. $SV=\dfrac{3\sqrt{6}{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}}{2}.$
D. $SV=\dfrac{\sqrt{3}{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}}{2}.$
Gọi hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh x có diện tích mặt chéo ${{S}_{AC{C}'{A}'}}={{a}^{2}}\sqrt{2}$
Ta có $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=x\sqrt{2}$ nên
${{S}_{AC{C}'{A}'}}=AC.A{A}'=x\sqrt{2}.x={{a}^{2}}\sqrt{2}\Rightarrow x=a$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Nên thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=3\pi {{a}^{2}}$
Suy ra $S.V=3\pi {{a}^{3}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi {{a}^{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}$.
A. $SV=\dfrac{3{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}}{2}.$
B. $SV=\dfrac{3\sqrt{3}{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}}{2}.$
C. $SV=\dfrac{3\sqrt{6}{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}}{2}.$
D. $SV=\dfrac{\sqrt{3}{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}}{2}.$
Gọi hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh x có diện tích mặt chéo ${{S}_{AC{C}'{A}'}}={{a}^{2}}\sqrt{2}$
Ta có $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=x\sqrt{2}$ nên
${{S}_{AC{C}'{A}'}}=AC.A{A}'=x\sqrt{2}.x={{a}^{2}}\sqrt{2}\Rightarrow x=a$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Nên thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=3\pi {{a}^{2}}$
Suy ra $S.V=3\pi {{a}^{3}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi {{a}^{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{\pi }^{2}}{{a}^{5}}$.
Đáp án B.