Google
Câu hỏi: Một hình cầu bán kính R và một hình nón có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là r, l thỏa mãn $r=\dfrac{1}{2}l$ và $l=\dfrac{3}{2}R.$ Biết tổng diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình nón là 91. Tính diện tích của khối cầu.
A. $\dfrac{104}{5}.$
B. 16.
C. 64.
D. $\dfrac{26}{5}.$
A. $\dfrac{104}{5}.$
B. 16.
C. 64.
D. $\dfrac{26}{5}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& r=\dfrac{1}{2}l \\
& l=\dfrac{3}{2}R \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& r=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}R=\dfrac{3}{4}R \\
& l=\dfrac{3}{2}R \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích toàn phần của hình nón là ${{S}_{1}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=\pi \left( \dfrac{3}{4}R \right).\dfrac{3}{2}R+\pi {{\left( \dfrac{3}{4}R \right)}^{2}}=\pi \dfrac{27}{16}{{R}^{2}}$
Diện tích mặt cầu là ${{S}_{2}}=4\pi {{R}^{2}}.$
Theo bài ra ta có ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=91\Leftrightarrow \pi \dfrac{27}{16}{{R}^{2}}+4\pi {{R}^{2}}=91\Leftrightarrow \dfrac{91}{16}\pi {{R}^{2}}=91\Leftrightarrow \pi {{R}^{2}}=16.$
Vậy diện tích mặt cầu là ${{S}_{2}}=4\pi {{R}^{2}}=4.16=64.$
& r=\dfrac{1}{2}l \\
& l=\dfrac{3}{2}R \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& r=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}R=\dfrac{3}{4}R \\
& l=\dfrac{3}{2}R \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích toàn phần của hình nón là ${{S}_{1}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=\pi \left( \dfrac{3}{4}R \right).\dfrac{3}{2}R+\pi {{\left( \dfrac{3}{4}R \right)}^{2}}=\pi \dfrac{27}{16}{{R}^{2}}$
Diện tích mặt cầu là ${{S}_{2}}=4\pi {{R}^{2}}.$
Theo bài ra ta có ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=91\Leftrightarrow \pi \dfrac{27}{16}{{R}^{2}}+4\pi {{R}^{2}}=91\Leftrightarrow \dfrac{91}{16}\pi {{R}^{2}}=91\Leftrightarrow \pi {{R}^{2}}=16.$
Vậy diện tích mặt cầu là ${{S}_{2}}=4\pi {{R}^{2}}=4.16=64.$
Đáp án C.