Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ tại 4...

Khi $x=0$ thì $y=0$ ; $x=1$ thì $y=-1$.
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm $O\left( 0;0 \right)$ và $A\left( 1;-1 \right)$. Véctơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{OA}=\left( 1;-1 \right)$, từ đó véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1 \right)$.
Vì thế đường thẳng có phương trình $1.\left( x-1 \right)+1.\left( y-0 \right)=0$ $\Leftrightarrow x+y=0$ $\Leftrightarrow y=-x$.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=-x$ là:
${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=-x$ $\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-2x+1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}-2x+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
& x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì thế $m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$, $n=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$, $n=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
Vậy $S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ $={{\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}$ $=3$.