Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ tại 4...

Khi thì ; thì .
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm và . Véctơ chỉ phương của đường thẳng là , từ đó véctơ pháp tuyến là .
Vì thế đường thẳng có phương trình .
Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số và đường thẳng là:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
& x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}n=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}m=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}n=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=3$.