Google
Câu hỏi: Một dụng cụ hình nón bằng thủy tinh, bên trong có chứa một lượng nước.. Khi đặt dụng cụ sao cho đỉnh hình nón hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng thì phần không gian trống trong dụng cụ có chiều cao $2\ cm$. Khi lật ngược dụng cụ để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng thì mực nước cao cách đỉnh của nói $8\ cm$
Biết chiều cao của hình nón là $h=a+\sqrt{b}\ cm \left( a,b\in \mathbb{Z} \right)$. Tính $T=a+b$.
A. $22$.
B. $58$.
C. $86$.
D. $72$.
A. $22$.
B. $58$.
C. $86$.
D. $72$.
Gọi $h$ là chiều cao dụng cụ hình nón bằng thủy tinh
Khi lật ngược dụng cụ để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng
Ta có: $\dfrac{{{r}_{1}}}{R}=\dfrac{8}{h}\Leftrightarrow {{r}_{1}}=\dfrac{8R}{h}$
Thể tích nước là: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h-\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{1}}8=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h-\dfrac{8}{3}\pi {{\left( \dfrac{8R}{h} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\left( h-\dfrac{{{8}^{3}}}{{{h}^{2}}} \right)$
Khi đặt dụng cụ sao cho đỉnh hình nón hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng
Ta có: $\dfrac{{{r}_{2}}}{R}=\dfrac{h-2}{h}\Leftrightarrow {{r}_{2}}=\dfrac{R\left( h-2 \right)}{h}$
Thể tích nước là: $V=\dfrac{1}{3}\pi r_{2}^{2}\left( h-2 \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( h-2 \right){{\left[ \dfrac{R\left( h-2 \right)}{h} \right]}^{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\dfrac{{{\left( h-2 \right)}^{3}}}{{{h}^{2}}}$
Vì thể tích nước không đổi nên ta có:
$\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\left( h-\dfrac{{{8}^{3}}}{{{h}^{2}}} \right)=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\dfrac{{{\left( h-2 \right)}^{3}}}{{{h}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( h-2 \right)}^{3}}+{{8}^{3}}={{h}^{3}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow -6{{h}^{2}}+12h+504=0 \\
& \Leftrightarrow h=1+\sqrt{85}\Rightarrow a=1;b=85\Rightarrow a+b=86. \\
\end{aligned}$
Khi lật ngược dụng cụ để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng
Thể tích nước là: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h-\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{1}}8=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h-\dfrac{8}{3}\pi {{\left( \dfrac{8R}{h} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\left( h-\dfrac{{{8}^{3}}}{{{h}^{2}}} \right)$
Khi đặt dụng cụ sao cho đỉnh hình nón hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng
Thể tích nước là: $V=\dfrac{1}{3}\pi r_{2}^{2}\left( h-2 \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( h-2 \right){{\left[ \dfrac{R\left( h-2 \right)}{h} \right]}^{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\dfrac{{{\left( h-2 \right)}^{3}}}{{{h}^{2}}}$
Vì thể tích nước không đổi nên ta có:
$\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\left( h-\dfrac{{{8}^{3}}}{{{h}^{2}}} \right)=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\dfrac{{{\left( h-2 \right)}^{3}}}{{{h}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( h-2 \right)}^{3}}+{{8}^{3}}={{h}^{3}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow -6{{h}^{2}}+12h+504=0 \\
& \Leftrightarrow h=1+\sqrt{85}\Rightarrow a=1;b=85\Rightarrow a+b=86. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.
