Google
Câu hỏi: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích $27c{{m}^{3}}$. Với chiều cao $h$ và bán kính đáy là $r$. Tìm $r$ để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.
A. $r=\sqrt[4]{\dfrac{{{3}^{6}}}{2{{\pi }^{2}}}}$
B. $r=\sqrt[6]{\dfrac{{{3}^{8}}}{2{{\pi }^{2}}}}$
C. $r=\sqrt[4]{\dfrac{{{3}^{8}}}{2{{\pi }^{2}}}}$
D. $r=\sqrt[6]{\dfrac{{{3}^{6}}}{2{{\pi }^{2}}}}$
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{3V}{\pi {{r}^{2}}}$.
$\Rightarrow $ Độ dài đường sinh là: $l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3V}{\pi {{r}^{2}}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{81}{\pi {{r}^{2}}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{3}^{8}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}}+{{r}^{2}}}$.
Diện tích xung quanh của hình nón là: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi r\sqrt{\dfrac{{{3}^{8}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}}+{{r}^{2}}}=\pi \sqrt{\dfrac{{{3}^{8}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}}+{{r}^{4}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi $r=\sqrt[6]{\dfrac{{{3}^{8}}}{2{{\pi }^{2}}}}$.
A. $r=\sqrt[4]{\dfrac{{{3}^{6}}}{2{{\pi }^{2}}}}$
B. $r=\sqrt[6]{\dfrac{{{3}^{8}}}{2{{\pi }^{2}}}}$
C. $r=\sqrt[4]{\dfrac{{{3}^{8}}}{2{{\pi }^{2}}}}$
D. $r=\sqrt[6]{\dfrac{{{3}^{6}}}{2{{\pi }^{2}}}}$
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{3V}{\pi {{r}^{2}}}$.
$\Rightarrow $ Độ dài đường sinh là: $l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3V}{\pi {{r}^{2}}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{81}{\pi {{r}^{2}}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{3}^{8}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}}+{{r}^{2}}}$.
Diện tích xung quanh của hình nón là: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi r\sqrt{\dfrac{{{3}^{8}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}}+{{r}^{2}}}=\pi \sqrt{\dfrac{{{3}^{8}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}}+{{r}^{4}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi $r=\sqrt[6]{\dfrac{{{3}^{8}}}{2{{\pi }^{2}}}}$.
Đáp án B.