Google
Câu hỏi: Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận được đơn đặt hàng với yêu cầu là thùng phi phải chứa được $16\pi \left( {{m}^{3}} \right)$ mỗi chiếc. Hỏi chiếc thùng phải có kích thước như thế nào để sản suất ít tốn vật liệu nhất?
A. $R=4\left( m \right), h=4\left( m \right)$.
B. $R=4\left( m \right), h=2\left( m \right)$.
C. $R=3\left( m \right), h=4\left( m \right)$.
D. $R=2\left( m \right), h=4\left( m \right)$.
A. $R=4\left( m \right), h=4\left( m \right)$.
B. $R=4\left( m \right), h=2\left( m \right)$.
C. $R=3\left( m \right), h=4\left( m \right)$.
D. $R=2\left( m \right), h=4\left( m \right)$.
Do thùng phi có dạng hình trụ nên: ${{V}_{tru}}=\pi {{R}^{2}}h=16\pi \Leftrightarrow h=\dfrac{16}{{{R}^{2}}}$ (1).
Diện tích toàn phần của thùng phi là: ${{S}_{Tp}}=2\pi {{R}^{2}}+2\pi Rh=2\pi R\left( h+R \right)$ (2)
Thay vào ta được:
${{S}_{tp}}=2\pi R\left( \dfrac{16}{{{R}^{2}}}+R \right)=2\pi \left( \dfrac{16}{R}+{{R}^{2}} \right)$
${{{S}'}_{tp}}=2\pi \left( -\dfrac{16}{{{R}^{2}}}+2R \right)=\dfrac{4\pi }{{{R}^{2}}}\left( {{R}^{3}}-8 \right)$
${{{S}'}_{tp}}=0\Leftrightarrow \dfrac{4\pi }{{{R}^{2}}}\left( {{R}^{3}}-8 \right)=0\Leftrightarrow R=2$
Bảng biến thiên
Vậy để sản xuất thùng phi ít tốn vật liệu nhất thì $R=2$ và chiều cao là $h=4$
Diện tích toàn phần của thùng phi là: ${{S}_{Tp}}=2\pi {{R}^{2}}+2\pi Rh=2\pi R\left( h+R \right)$ (2)
Thay vào ta được:
${{S}_{tp}}=2\pi R\left( \dfrac{16}{{{R}^{2}}}+R \right)=2\pi \left( \dfrac{16}{R}+{{R}^{2}} \right)$
${{{S}'}_{tp}}=2\pi \left( -\dfrac{16}{{{R}^{2}}}+2R \right)=\dfrac{4\pi }{{{R}^{2}}}\left( {{R}^{3}}-8 \right)$
${{{S}'}_{tp}}=0\Leftrightarrow \dfrac{4\pi }{{{R}^{2}}}\left( {{R}^{3}}-8 \right)=0\Leftrightarrow R=2$
Bảng biến thiên
Vậy để sản xuất thùng phi ít tốn vật liệu nhất thì $R=2$ và chiều cao là $h=4$
Đáp án D.