Google
Câu hỏi: Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$ bằng
A. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
B. $\dfrac{4}{5}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
D. $\dfrac{3}{1+2\sqrt[{}]{2}}$.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
B. $\dfrac{4}{5}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
D. $\dfrac{3}{1+2\sqrt[{}]{2}}$.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Phương trình Parabol có dạng $y=a{{x}^{2}}$ (P).
(P) đi qua điểm có tọa độ $\left( -6;-18 \right)$ suy ra: $-18=a{{\left( -6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$
Vậy $\left( P \right)$ có phương trình $\left( P \right)=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$. .
Từ hình vẽ ta có: $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}$.
Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng $AB: y=-\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}$ là
${{S}_{1}}=2\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left[ -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\left( -\dfrac{1}{2}x_{1}^{2} \right) \right]\text{d}}x=\left. 2\left( -\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}x \right) \right|_{0}^{{{x}_{1}}}=\dfrac{2}{3}x_{1}^{3}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng $CD: y=-\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}$ là
${{S}_{1}}=2\int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left[ -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\left( -\dfrac{1}{2}x_{2}^{2} \right) \right]\text{d}}x=\left. 2\left( -\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}x \right) \right|_{0}^{{{x}_{1}}}=\dfrac{2}{3}x_{2}^{3}$
Từ giả thiết suy ra ${{S}_{2}}=2{{S}_{1}}\Leftrightarrow x_{2}^{3}=2x_{1}^{3}\Leftrightarrow \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Vậy $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
Phương trình Parabol có dạng $y=a{{x}^{2}}$ (P).
(P) đi qua điểm có tọa độ $\left( -6;-18 \right)$ suy ra: $-18=a{{\left( -6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$
Vậy $\left( P \right)$ có phương trình $\left( P \right)=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$. .
Từ hình vẽ ta có: $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}$.
Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng $AB: y=-\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}$ là
${{S}_{1}}=2\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left[ -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\left( -\dfrac{1}{2}x_{1}^{2} \right) \right]\text{d}}x=\left. 2\left( -\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}x \right) \right|_{0}^{{{x}_{1}}}=\dfrac{2}{3}x_{1}^{3}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng $CD: y=-\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}$ là
${{S}_{1}}=2\int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left[ -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\left( -\dfrac{1}{2}x_{2}^{2} \right) \right]\text{d}}x=\left. 2\left( -\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}x \right) \right|_{0}^{{{x}_{1}}}=\dfrac{2}{3}x_{2}^{3}$
Từ giả thiết suy ra ${{S}_{2}}=2{{S}_{1}}\Leftrightarrow x_{2}^{3}=2x_{1}^{3}\Leftrightarrow \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Vậy $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
Đáp án C.