Google
Câu hỏi: Một con lắc lò xo treo vào một điểm cố định, dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Tại thời điểm lò xo dãn 2cm, tốc độ của vật là $4\sqrt{5}v$ cm/s; tại thời điểm lò xo dãn 4cm, tốc độ của vật là $6\sqrt{2}v$ cm/s; tại thời điểm lò xo dãn 6cm, tốc độ của vật là $3\sqrt{6}v$ cm/s. Lấy $g=9,8m/{{s}^{2}}$. Trong một chu kì, tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian lò xo bị dãn có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 1,26 m/s.
B. 1,43 m/s.
C. 1,21 m/s.
D. 1,52 m/s.
A. 1,26 m/s.
B. 1,43 m/s.
C. 1,21 m/s.
D. 1,52 m/s.
Chọn chiều dương hướng xuống, gốc O tại VTCB. Gọi a là độ dãn của lò xo khi vật cân bằng, li độ của vật khi lo xo dãn $\Delta \ell $ là $\Delta \ell -a\left( cm \right)$ ; $\omega $ là tần số góc và A là biên độ của vật.
Ta có hệ ${{A}^{2}}={{\left( 2-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 4\sqrt{5}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{\left( 4-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 6\sqrt{2}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow {{\left( 6-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 3\sqrt{6}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}$
Từ ${{\left( 2-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 4\sqrt{5}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{\left( 4-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 6\sqrt{2}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{3-a}{2}\left( 1 \right)$
${{\left( 4-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 6\sqrt{2}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{\left( 6-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 3\sqrt{6}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{10-2a}{9}\left( 2 \right)$
Giải hệ (1) và (2) ta tìm được $a=\dfrac{7}{5}=1,4\left( cm \right)$ ; $\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{4}{5}=0,8\left( cm{^{2}}/ra{{d}^{2}} \right)$.
Từ đó tính được $A=8,022$ cm.
$\omega =\sqrt{\dfrac{g}{a}}=\sqrt{\dfrac{9,8}{0,014}}=10\sqrt{7}\approx 26,46\left( rad/s \right)\Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{10\sqrt{7}}\approx 0,2375\left( s \right).$
Thời gian lò xo dãn trong một chu kì ứng với vật chuyển động giữa hai li độ -1,4 cm và 8,022cm. Ta chỉ cần tính tốc độ trung bình khi vật đi từ điểm có li độ -1,4 cm đến biên có li độ 8,022 cm với thời gian chuyển động $t=\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{2\pi }.\arcsin \left( \dfrac{a}{A} \right)=0,066\left( s \right)$
và quãng đường $s=A+a=9,422\left( cm \right)$.
${{v}_{TB}}=\dfrac{s}{t}=\dfrac{9,422}{0,066}\approx 142,75\left( cm/s \right)\approx 1,43\left( m/s \right)$.
Ta có hệ ${{A}^{2}}={{\left( 2-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 4\sqrt{5}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{\left( 4-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 6\sqrt{2}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow {{\left( 6-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 3\sqrt{6}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}$
Từ ${{\left( 2-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 4\sqrt{5}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{\left( 4-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 6\sqrt{2}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{3-a}{2}\left( 1 \right)$
${{\left( 4-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 6\sqrt{2}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{\left( 6-a \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 3\sqrt{6}v \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{10-2a}{9}\left( 2 \right)$
Giải hệ (1) và (2) ta tìm được $a=\dfrac{7}{5}=1,4\left( cm \right)$ ; $\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{4}{5}=0,8\left( cm{^{2}}/ra{{d}^{2}} \right)$.
Từ đó tính được $A=8,022$ cm.
$\omega =\sqrt{\dfrac{g}{a}}=\sqrt{\dfrac{9,8}{0,014}}=10\sqrt{7}\approx 26,46\left( rad/s \right)\Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{10\sqrt{7}}\approx 0,2375\left( s \right).$
Thời gian lò xo dãn trong một chu kì ứng với vật chuyển động giữa hai li độ -1,4 cm và 8,022cm. Ta chỉ cần tính tốc độ trung bình khi vật đi từ điểm có li độ -1,4 cm đến biên có li độ 8,022 cm với thời gian chuyển động $t=\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{2\pi }.\arcsin \left( \dfrac{a}{A} \right)=0,066\left( s \right)$
và quãng đường $s=A+a=9,422\left( cm \right)$.
${{v}_{TB}}=\dfrac{s}{t}=\dfrac{9,422}{0,066}\approx 142,75\left( cm/s \right)\approx 1,43\left( m/s \right)$.
Đáp án B.