Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo...

The Professor · 29/12/21

Câu hỏi: Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo thành khi quay một phần đồ thị hàm số

y = 2^{x}

xung quanh trục

O y .

Người ta thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính

R

thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly. Biết điểm tiếp xúc của viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly

3 c m

(như hình vẽ). Thể tích nước có trong ly gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A.

30 c m^{2} .

B.

40 c m^{2} .

C.

50 c m^{2} .

D.

60 c m^{2} .

Xét mặt phẳng

(α)

đi qua trục của chiếc ly. Gọi

(τ)

là đường tròn lớn của quả cầu. Ta thấy đường tròn

(τ)

và đồ thị

(C) : y = 2^{x}

tiếp xúc nhau tại

A .

Chọn hệ trục

O x y

như hình vẽ, ta được

A (2; 4) .

Tiếp tuyến với

(C)

tại

A

là

(d) : y = (4 \ln 2) . x - 8 \ln 2 + 4.

Đường thẳng vuông góc với

(d)

tại

A

là

(Δ) : y = - \frac{1}{4 \ln 2} . x + \frac{1}{2 \ln 2} + 4.

Tâm

I

của đường tròn

(τ)

là giao điểm của

(Δ)

và

O y,

ta được

I (0; \frac{1 + 8 \ln 2}{2 \ln 2}) .

Ta có

I A = (2; - \frac{1}{2 \ln 2}),

suy ra thể tích khối cầu

V_{k h o i c a u} = \frac{4 π}{3} . I A^{3} \approx 40, 26 c m^{3} .

Dung tích chiếc ly là

V = π \int_{1}^{y_{B}} {[\log_{2} y]}^{2} dy \approx 69, 92 c m^{3} .

Thể tích nước chứa trong chiếc ly là

V_{n u o c} = V - V_{k h o i c a u} \approx 29, 66 c m^{3} .

Đáp án A.