Câu hỏi: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ lần lượt là A1 và A2, pha ban đầu có thể thay đổi được. Khi hai dao động thành phần lệch pha $\pi $ /4 và $\pi $ /2 thì năng lượng dao động tổng hợp lần lượt là 8W và 6W. Khi năng lượng dao động tổng hợp là 7W thì độ lệch pha giữa hai dao động thành phần gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. 85,50
B. 20
C. 65,690
D. 124,50
A. 85,50
B. 20
C. 65,690
D. 124,50
Phương pháp:
Phương trình hai dao động là ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right);{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \alpha t+{{\varphi }_{2}} \right)$
Dao động tổng hợp là $x=A.\cos (\omega t+\varphi )\text{ }$ với $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi }$
Năng lượng của dao động là: $\text{W}=\dfrac{\text{l}}{2}.k.{{A}^{2}}$
Lời giải:
Ta có:$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \alpha t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=A.\cos (\alpha x+\varphi ) \\
\end{array} \right.$
Với: A= A + 4 + 2A4,.cosAp
Năng lượng của dao động trong hai trường hợp lệch pha $\dfrac{\pi }{4}$ và $\dfrac{\pi }{2}$ lượt là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\text{W}}_{1}}=\dfrac{1}{2}.k\cdot A{{'}^{2}}=8W=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}\cdot \cos \dfrac{\pi }{4} \right) \\
{{\text{W}}_{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot {{A}^{'{{'}^{2}}}}=6\text{B}=\dfrac{1}{2}k\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}\cdot \cos \dfrac{\pi }{2} \right) \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\text{w}}_{1}}=\dfrac{1}{2}.k\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{3}^{2}+\sqrt{2}{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right) \\
{{\text{W}}_{2}}=\dfrac{1}{2}\text{.k}\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2} \right) \\
\end{array}\Rightarrow k\cdot {{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}=2\sqrt{2} \right.$
Khi năng lượng dao động là 7W ta có :
${{\text{W}}_{3}}=7W=\dfrac{1}{2}.k\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi \right)=$ $6+2\sqrt{2}\cdot \cos \Delta \varphi \Rightarrow \cos \Delta \varphi =\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \Delta \varphi ={{69,295}^{0}}$
Phương trình hai dao động là ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right);{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \alpha t+{{\varphi }_{2}} \right)$
Dao động tổng hợp là $x=A.\cos (\omega t+\varphi )\text{ }$ với $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi }$
Năng lượng của dao động là: $\text{W}=\dfrac{\text{l}}{2}.k.{{A}^{2}}$
Lời giải:
Ta có:$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \alpha t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=A.\cos (\alpha x+\varphi ) \\
\end{array} \right.$
Với: A= A + 4 + 2A4,.cosAp
Năng lượng của dao động trong hai trường hợp lệch pha $\dfrac{\pi }{4}$ và $\dfrac{\pi }{2}$ lượt là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\text{W}}_{1}}=\dfrac{1}{2}.k\cdot A{{'}^{2}}=8W=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}\cdot \cos \dfrac{\pi }{4} \right) \\
{{\text{W}}_{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot {{A}^{'{{'}^{2}}}}=6\text{B}=\dfrac{1}{2}k\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}\cdot \cos \dfrac{\pi }{2} \right) \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\text{w}}_{1}}=\dfrac{1}{2}.k\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{3}^{2}+\sqrt{2}{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right) \\
{{\text{W}}_{2}}=\dfrac{1}{2}\text{.k}\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2} \right) \\
\end{array}\Rightarrow k\cdot {{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}=2\sqrt{2} \right.$
Khi năng lượng dao động là 7W ta có :
${{\text{W}}_{3}}=7W=\dfrac{1}{2}.k\cdot \left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi \right)=$ $6+2\sqrt{2}\cdot \cos \Delta \varphi \Rightarrow \cos \Delta \varphi =\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \Delta \varphi ={{69,295}^{0}}$
Đáp án C.