Google
Câu hỏi: Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48 và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi $h$ là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết $h=\dfrac{m}{n}$ với $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng $m+n$ là
A. 12.
B. 13.
C. 11.
D. 10.
A. 12.
B. 13.
C. 11.
D. 10.
Gọi $x,2x,h$ lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp chữ nhật.
Diện tích làm nắp hộp là ${{S}_{1}}=x\times 2x=2{{x}^{2}}\Rightarrow $ Số tiền làm nắp hộp là ${{T}_{1}}=2a{{x}^{2}}$
Diện tích làm đáy và 4 mặt bên của hộp là ${{S}_{2}}=2{{x}^{2}}+6xh$
Số tiền làm đáy và 4 mặt bên của hộp là ${{T}_{2}}=3a\left( 2{{x}^{2}}+6xh \right)=6a{{x}^{2}}+18axh$
Do đó, tổng số tiền làm hộp là $S=8a{{x}^{2}}+18axh$ mà $2{{x}^{2}}h=48\Rightarrow h=\dfrac{24}{{{x}^{2}}}$
Suy ra $\dfrac{S}{a}=8{{x}^{2}}+\dfrac{432}{x}=8{{x}^{2}}+\dfrac{216}{x}+\dfrac{216}{x}\ge 3\sqrt[3]{8{{x}^{2}}.\dfrac{216}{x}.\dfrac{216}{x}}=216$
Dấu bằng xảy ra khi $8{{x}^{2}}=\dfrac{216}{x}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=27\Leftrightarrow x=3\Rightarrow h=\dfrac{8}{3}\Rightarrow m+n=11$.
Diện tích làm nắp hộp là ${{S}_{1}}=x\times 2x=2{{x}^{2}}\Rightarrow $ Số tiền làm nắp hộp là ${{T}_{1}}=2a{{x}^{2}}$
Diện tích làm đáy và 4 mặt bên của hộp là ${{S}_{2}}=2{{x}^{2}}+6xh$
Số tiền làm đáy và 4 mặt bên của hộp là ${{T}_{2}}=3a\left( 2{{x}^{2}}+6xh \right)=6a{{x}^{2}}+18axh$
Do đó, tổng số tiền làm hộp là $S=8a{{x}^{2}}+18axh$ mà $2{{x}^{2}}h=48\Rightarrow h=\dfrac{24}{{{x}^{2}}}$
Suy ra $\dfrac{S}{a}=8{{x}^{2}}+\dfrac{432}{x}=8{{x}^{2}}+\dfrac{216}{x}+\dfrac{216}{x}\ge 3\sqrt[3]{8{{x}^{2}}.\dfrac{216}{x}.\dfrac{216}{x}}=216$
Dấu bằng xảy ra khi $8{{x}^{2}}=\dfrac{216}{x}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=27\Leftrightarrow x=3\Rightarrow h=\dfrac{8}{3}\Rightarrow m+n=11$.
Đáp án C.