Google
Câu hỏi: Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm $O$, phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật $ABCD$ ; hình vuông $MNPQ$ có cạnh $MN=2$ (m) và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh $O$ như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/ ${{m}^{2}}$ và phần còn lại là 250.000 đồng/ ${{m}^{2}}$. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. 3.439.000 đồng.
B. 3.628.000 đồng.
C. 3.580.000 đồng.
D. 3.363.000 đồng.
Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ và gọi các điểm $E,F,G,H,I$ như hình vẽ. Ta tính diện tích phần không tô màu ở góc phần tư thứ nhất.
Phương trình parabol đi qua ba điểm $O,A,D$ là $y={{x}^{2}}$.
Ta tìm được tọa độ điểm $M\left( 1;1 \right),A\left( \dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{2};\dfrac{-2+2\sqrt{17}}{4} \right)$
Diện tích tam giác $AEF:{{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}AE.AF=\dfrac{1}{2}.\dfrac{-2+2\sqrt{17}}{4}.\left( 2-\dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{2} \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}},y=0,x=0,x=1:{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}} \text{d}x=\dfrac{1}{3}$.
Diện tích hình thang cong $AGHM:$
${{S}_{3}}=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}+\int\limits_{1}^{\dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{2}}{\left( \dfrac{-2+2\sqrt{17}}{4}-{{x}^{2}} \right)} \text{d}x=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{(-1+\sqrt{17})\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{6}$.
Phương trình đường thẳng $IA:y=-x\sqrt{\sqrt{17}-4}+2$.
Diện tích cung tròn nhỏ $\overset\frown{IA}:$
$\begin{aligned}
& {{S}_{4}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{2}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}+x\sqrt{\sqrt{17}-4}-2 \right)} \text{d}x \\
& =-\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{-1+\sqrt{17}}}{2}+2\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}\sqrt{-1+\sqrt{17}}}{4} \right) \\
\end{aligned}$
Diện tích phần không tô màu:
$\begin{aligned}
& S=4\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}} \right) \\
& =8\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}\sqrt{-1+\sqrt{17}}}{4} \right)+\dfrac{(\sqrt{17}\sqrt{2}-13\sqrt{2})\sqrt{-1+\sqrt{17}}}{6}+2\sqrt{17}-\dfrac{10}{3} \\
& \approx 6,612 \\
\end{aligned}$
Diện tích hình tròn ${{S}_{tron}}=\pi {{.2}^{2}}=4\pi \approx 12,566$.
Diện tích phần tô màu ${{S}_{mau}}={{S}_{tron}}-S\approx 5,954$.
Số tiền để sơn
$T=300.000{{S}_{mau}}+250.000S\approx 3.439.200$ đồng.
B. 3.628.000 đồng.
C. 3.580.000 đồng.
D. 3.363.000 đồng.
Phương trình parabol đi qua ba điểm $O,A,D$ là $y={{x}^{2}}$.
Ta tìm được tọa độ điểm $M\left( 1;1 \right),A\left( \dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{2};\dfrac{-2+2\sqrt{17}}{4} \right)$
Diện tích tam giác $AEF:{{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}AE.AF=\dfrac{1}{2}.\dfrac{-2+2\sqrt{17}}{4}.\left( 2-\dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{2} \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}},y=0,x=0,x=1:{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}} \text{d}x=\dfrac{1}{3}$.
Diện tích hình thang cong $AGHM:$
${{S}_{3}}=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}+\int\limits_{1}^{\dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{2}}{\left( \dfrac{-2+2\sqrt{17}}{4}-{{x}^{2}} \right)} \text{d}x=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{(-1+\sqrt{17})\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{6}$.
Phương trình đường thẳng $IA:y=-x\sqrt{\sqrt{17}-4}+2$.
Diện tích cung tròn nhỏ $\overset\frown{IA}:$
$\begin{aligned}
& {{S}_{4}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\sqrt{-2+2\sqrt{17}}}{2}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}+x\sqrt{\sqrt{17}-4}-2 \right)} \text{d}x \\
& =-\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{-1+\sqrt{17}}}{2}+2\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}\sqrt{-1+\sqrt{17}}}{4} \right) \\
\end{aligned}$
Diện tích phần không tô màu:
$\begin{aligned}
& S=4\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}} \right) \\
& =8\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}\sqrt{-1+\sqrt{17}}}{4} \right)+\dfrac{(\sqrt{17}\sqrt{2}-13\sqrt{2})\sqrt{-1+\sqrt{17}}}{6}+2\sqrt{17}-\dfrac{10}{3} \\
& \approx 6,612 \\
\end{aligned}$
Diện tích hình tròn ${{S}_{tron}}=\pi {{.2}^{2}}=4\pi \approx 12,566$.
Diện tích phần tô màu ${{S}_{mau}}={{S}_{tron}}-S\approx 5,954$.
Số tiền để sơn
$T=300.000{{S}_{mau}}+250.000S\approx 3.439.200$ đồng.
Đáp án A.