Google
Câu hỏi: Một bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng cốc là 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 12 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy, mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.
A. $15\pi $ cm3
B. $72$ cm3
C. $60\pi $ cm3
D. 60 cm3
HD: Đặt $OP=x;h=MN;\varphi =\widehat{MPN}\Rightarrow \tan \varphi =\dfrac{h}{R}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& NP=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \\
& MN=NP\tan \varphi \\
\end{aligned} \right.$
$V=\int\limits_{-R}^{R}{S\left( x \right)dx}$ trong đó $S\left( x \right)=\dfrac{1}{2}MN.NP=\dfrac{1}{2}\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right).\dfrac{h}{R}.$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-R}^{R}{\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right).\dfrac{h}{R}dx=\dfrac{1}{2}\dfrac{h}{R}.\left( 2{{R}^{3}}-\dfrac{2{{R}^{3}}}{3} \right)=\dfrac{2{{R}^{2}}h}{3}=\dfrac{2{{R}^{3}}\tan \varphi }{3}}$
Áp dụng công thức thể tích khối nêm: $V=\dfrac{2{{R}^{2}}h}{3},$ trong đó R là bán kính đáy của khối nêm và h là chiều cao khối nêm ta có: $V=\dfrac{2}{3}{{.3}^{2}}.12=72$ cm3.
A. $15\pi $ cm3
B. $72$ cm3
C. $60\pi $ cm3
D. 60 cm3
HD: Đặt $OP=x;h=MN;\varphi =\widehat{MPN}\Rightarrow \tan \varphi =\dfrac{h}{R}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& NP=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \\
& MN=NP\tan \varphi \\
\end{aligned} \right.$
$V=\int\limits_{-R}^{R}{S\left( x \right)dx}$ trong đó $S\left( x \right)=\dfrac{1}{2}MN.NP=\dfrac{1}{2}\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right).\dfrac{h}{R}.$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-R}^{R}{\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right).\dfrac{h}{R}dx=\dfrac{1}{2}\dfrac{h}{R}.\left( 2{{R}^{3}}-\dfrac{2{{R}^{3}}}{3} \right)=\dfrac{2{{R}^{2}}h}{3}=\dfrac{2{{R}^{3}}\tan \varphi }{3}}$
Áp dụng công thức thể tích khối nêm: $V=\dfrac{2{{R}^{2}}h}{3},$ trong đó R là bán kính đáy của khối nêm và h là chiều cao khối nêm ta có: $V=\dfrac{2}{3}{{.3}^{2}}.12=72$ cm3.
Đáp án B.