Kí kiệu $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm...

Phương trình hoành độ giao điểm : $2\left( x-1 \right){{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1$.
Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay khi quay hình $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ là
$V=\pi \int_{0}^{1}{4{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{2x}}\text{d}x}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{\left( x-1 \right)}^{2}} \\
& \text{d}v={{e}^{2x}}\text{d}x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{d}u=2\left( x-1 \right)\text{d}x \\
& v=\dfrac{1}{2}{{e}^{2x}} \\
\end{aligned} \right.$
$V=4\pi \left[ \left. \dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{2x}}}{2} \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right){{e}^{2x}}\text{d}x} \right]=4\pi \left[ -\dfrac{1}{2}-\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right){{e}^{2x}}\text{d}x} \right]$
Xét $I=\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right){{e}^{2x}}\text{d}x}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=x-1 \\
& \text{d}{{v}_{1}}={{e}^{2x}}\text{d}x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{d}{{u}_{1}}=\text{d}x \\
& {{v}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{e}^{2x}} \\
\end{aligned} \right.$
$I=\left. \left( x-1 \right)\dfrac{{{e}^{2x}}}{2} \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{2x}}}{2}\text{d}x}=\dfrac{1}{2}-\left. \dfrac{{{e}^{2x}}}{4} \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{{{e}^{2}}}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{{{e}^{2}}}{4}$.
Vậy $V=4\pi \left[ -\dfrac{1}{2}-\left( \dfrac{3}{4}-\dfrac{{{e}^{2}}}{4} \right) \right]=\pi \left( {{e}^{2}}-5 \right)$.