Google
Câu hỏi: Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{\dfrac{5+\left( x-4 \right){{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ quay quanh trục hoành có thể tích $V=\pi \left[ a+b\ln \left( e+1 \right) \right]$, trong đó a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a+b=5$.
B. $a+b=9$.
C. $a-2b=-3$.
D. $a-2b=13$.
A. $a+b=5$.
B. $a+b=9$.
C. $a-2b=-3$.
D. $a-2b=13$.
Thể tích khối tròn xoay:
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{y}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{5+\left( x-4 \right){{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}=\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1+x{{e}^{x}}+4\left( 1-{{e}^{x}} \right)}{1+x{{e}^{x}}}dx}$
$=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 1+4.\dfrac{1-{{e}^{x}}}{1+x{{e}^{x}}} \right)dx}=\pi x\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.+4\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1-{{e}^{x}}}{1+x{{e}^{x}}}dx}$
$=\pi +4\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\dfrac{1}{{{e}^{x}}}-1}{\dfrac{1}{{{e}^{x}}}+x}dx}=\pi +4\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{-d\left( \dfrac{1}{{{e}^{x}}}+x \right)}{\dfrac{1}{{{e}^{x}}}+x}=\pi -4\pi \ln \left| \dfrac{1}{{{e}^{x}}}+x \right|\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.}$
$=\pi -4\pi \ln \dfrac{1+e}{e}=\pi -4\pi \ln \left( e+1 \right)+4\pi =\pi \left[ 5-4\ln \left( e+1 \right) \right]$
$\Rightarrow a=5$, $b=-4\Rightarrow a-2b=13$
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{y}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{5+\left( x-4 \right){{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}=\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1+x{{e}^{x}}+4\left( 1-{{e}^{x}} \right)}{1+x{{e}^{x}}}dx}$
$=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 1+4.\dfrac{1-{{e}^{x}}}{1+x{{e}^{x}}} \right)dx}=\pi x\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.+4\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1-{{e}^{x}}}{1+x{{e}^{x}}}dx}$
$=\pi +4\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\dfrac{1}{{{e}^{x}}}-1}{\dfrac{1}{{{e}^{x}}}+x}dx}=\pi +4\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{-d\left( \dfrac{1}{{{e}^{x}}}+x \right)}{\dfrac{1}{{{e}^{x}}}+x}=\pi -4\pi \ln \left| \dfrac{1}{{{e}^{x}}}+x \right|\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.}$
$=\pi -4\pi \ln \dfrac{1+e}{e}=\pi -4\pi \ln \left( e+1 \right)+4\pi =\pi \left[ 5-4\ln \left( e+1 \right) \right]$
$\Rightarrow a=5$, $b=-4\Rightarrow a-2b=13$
Đáp án D.