Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ ...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

(H)

giới hạn bởi đường cong

y = \sqrt{\frac{5 + (x - 4) e^{x}}{x e^{x} + 1}}

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

,

x = 1

quay quanh trục hoành có thể tích

V = π [a + b \ln (e + 1)]

, trong đó a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

a + b = 5

.
B.

a + b = 9

.
C.

a - 2 b = - 3

.
D.

a - 2 b = 13

.

Thể tích khối tròn xoay:

V = π \int_{0}^{1} y^{2} d x = π \int_{0}^{1} \frac{5 + (x - 4) e^{x}}{x e^{x} + 1} d x = π \int_{0}^{1} \frac{1 + x e^{x} + 4 (1 - e^{x})}{1 + x e^{x}} d x

= π \int_{0}^{1} (1 + 4. \frac{1 - e^{x}}{1 + x e^{x}}) d x = π x | \begin{aligned} ^{1} \\ _{0} \end{aligned} + 4 π \int_{0}^{1} \frac{1 - e^{x}}{1 + x e^{x}} d x

= π + 4 π \int_{0}^{1} \frac{\frac{1}{e^{x}} - 1}{\frac{1}{e^{x}} + x} d x = π + 4 π \int_{0}^{1} \frac{- d (\frac{1}{e^{x}} + x)}{\frac{1}{e^{x}} + x} = π - 4 π \ln | \frac{1}{e^{x}} + x | | \begin{aligned} ^{1} \\ _{0} \end{aligned}

= π - 4 π \ln \frac{1 + e}{e} = π - 4 π \ln (e + 1) + 4 π = π [5 - 4 \ln (e + 1)]

\Rightarrow a = 5

,

b = - 4 \Rightarrow a - 2 b = 13

Đáp án D.

Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H)...