Google
Câu hỏi: Khối chóp $S.ABCDEF$ có đáy là một lục giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AC$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCDEF$, biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng $\left( SDE \right)$ bằng $a$.
A. $\dfrac{9\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{3\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
C. $\dfrac{27\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
Tam giác $EOD$ đều cạnh $a\Rightarrow OM\bot ED, OM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Dựng $HN//OM\Rightarrow HN\bot ED\Rightarrow \left( SHN \right)\bot \left( SED \right)$.
Kẻ $HK\bot SN\Rightarrow HK\bot \left( SED \right)$.
Ta có $\dfrac{OM}{HN}=\dfrac{OE}{HE}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HN=\dfrac{3}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}a}{4}$
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}\Rightarrow SH=\dfrac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{11}}$.
${{S}_{ABCDEF}}=6.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{11}}.\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{9\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
A. $\dfrac{9\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{3\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
C. $\dfrac{27\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
Dựng $HN//OM\Rightarrow HN\bot ED\Rightarrow \left( SHN \right)\bot \left( SED \right)$.
Kẻ $HK\bot SN\Rightarrow HK\bot \left( SED \right)$.
Ta có $\dfrac{OM}{HN}=\dfrac{OE}{HE}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HN=\dfrac{3}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}a}{4}$
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}\Rightarrow SH=\dfrac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{11}}$.
${{S}_{ABCDEF}}=6.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{11}}.\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{9\sqrt{11}}{22}{{a}^{3}}$
Đáp án A.