Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a$ , $S A = S B = S C = a$ ...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh

a

,

S A = S B = S C = a

, cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là
A.

\frac{a^{3}}{2}

.
B.

\frac{a^{3}}{8}

.
C.

\frac{3 a^{3}}{8}

.
D.

\frac{a^{3}}{4}

.

Khi SD thay đổi thì AC thay đổi.
Đặt

A C = x

. Gọi

O = A C \cap B D

.
Vì

S A = S B = S C

nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

\Rightarrow H \in B O

.
Ta có

O B = \sqrt{a^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{4 a^{2} - x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{2}

.

S_{A B C} = \frac{1}{2} O B . A C = \frac{1}{2} . x . \frac{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{2} = \frac{x \sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{4}

.

H B = R = \frac{a . a . x}{4 S_{A B C}} = \frac{a^{2} x}{4. \frac{x \sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{4}} = \frac{a^{2}}{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}

S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{4}}{4 a^{2} - x^{2}}} = \frac{a \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}}{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}

.

V_{S . A B C D} = 2 V_{S . A B C} = 2. \frac{1}{3} . S H . S_{A B C} = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}}{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}} . \frac{x \sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{4}

= \frac{1}{6} a (x . \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}) \leq \frac{1}{6} a (\frac{x^{2} + 3 a^{2} - x^{2}}{2}) = \frac{a^{3}}{4}

.

Đáp án D.

Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA=SB=SC=a...