Google
Câu hỏi: Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a$, $SA=SB=SC=a$, cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Khi SD thay đổi thì AC thay đổi.
Đặt $AC=x$. Gọi $O=AC\cap BD$.
Vì $SA=SB=SC$ nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
$\Rightarrow H\in BO$.
Ta có $OB=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}$.
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}OB.AC=\dfrac{1}{2}.x.\dfrac{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}=\dfrac{x\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{4}$.
$HB=R=\dfrac{a.a.x}{4{{S}_{ABC}}}=\dfrac{{{a}^{2}}x}{4.\dfrac{x\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{4}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}$
$SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{4}}}{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}$.
${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}=2.\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}.\dfrac{x\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{4}$
$=\dfrac{1}{6}a\left( x.\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)\le \dfrac{1}{6}a\left( \dfrac{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2} \right)=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Khi SD thay đổi thì AC thay đổi.
Đặt $AC=x$. Gọi $O=AC\cap BD$.
Vì $SA=SB=SC$ nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
$\Rightarrow H\in BO$.
Ta có $OB=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}$.
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}OB.AC=\dfrac{1}{2}.x.\dfrac{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}=\dfrac{x\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{4}$.
$HB=R=\dfrac{a.a.x}{4{{S}_{ABC}}}=\dfrac{{{a}^{2}}x}{4.\dfrac{x\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{4}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}$
$SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{4}}}{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}$.
${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}=2.\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}.\dfrac{x\sqrt{4{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{4}$
$=\dfrac{1}{6}a\left( x.\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)\le \dfrac{1}{6}a\left( \dfrac{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2} \right)=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án D.