Google
Câu hỏi: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ${y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-1}$ bằng
A. ${\dfrac{5\sqrt{2}}{3}.}$
B. ${\dfrac{2\sqrt{10}}{3}.}$
C. ${\dfrac{10\sqrt{2}}{3}.}$
D. ${\dfrac{2\sqrt{5}}{3}.}$
A. ${\dfrac{5\sqrt{2}}{3}.}$
B. ${\dfrac{2\sqrt{10}}{3}.}$
C. ${\dfrac{10\sqrt{2}}{3}.}$
D. ${\dfrac{2\sqrt{5}}{3}.}$
Ta có $y'={{x}^{2}}-2x-1.$
Khi đó $3y={{x}^{3}}3{{x}^{2}}3x1=x\left( {{x}^{2}}2x-1 \right)-{{x}^{2}}2x1=\left( x1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)-4x2.$
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=-\dfrac{4x+2}{3}.$
Chú ý $y'={{x}^{2}}-2x-1=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1+\sqrt{2}\Rightarrow y=-\dfrac{4\sqrt{2}+6}{3} \\
& x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=-\dfrac{6-4\sqrt{2}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó A, B là hai điểm cực trị thì $A{{B}^{2}}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{8\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{200}{9}\Rightarrow AB=\dfrac{10\sqrt{2}}{3}.$
Khi đó $3y={{x}^{3}}3{{x}^{2}}3x1=x\left( {{x}^{2}}2x-1 \right)-{{x}^{2}}2x1=\left( x1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)-4x2.$
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=-\dfrac{4x+2}{3}.$
Chú ý $y'={{x}^{2}}-2x-1=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1+\sqrt{2}\Rightarrow y=-\dfrac{4\sqrt{2}+6}{3} \\
& x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=-\dfrac{6-4\sqrt{2}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó A, B là hai điểm cực trị thì $A{{B}^{2}}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{8\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{200}{9}\Rightarrow AB=\dfrac{10\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án C.