Google
Câu hỏi: Hướng tới kỉ niệm ngày thành lập trường Đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Khối $12$ thiết kế bồn hoa gồm hai Elip bằng nhau có độ dài trục lớn bằng $8m$ và độ dài trục nhỏ bằng $4m$ đặt chồng lên nhau sao cho trục lớn của Elip này trùng với trục nhỏ của Elip kia và ngược lại (như hình vẽ).
Phần diện tích nằm trong đường tròn đi qua $4$ giao điểm của hai Elip dùng để trồng cỏ, phần diện tích bốn cánh hoa nằm giữa hình tròn và Elip dùng để trồng hoa. Biết kinh phí để trồng hoa là $150.000$ đồng $/1{{m}^{2}}$, kinh phí để trồng cỏ là $100.000$ đồng $/1{{m}^{2}}$. Tổng số tiền dùng để trồng hoa và trồng cỏ cho bồn hoa gần với số nào nhất trong các số sau?
A. $4.100.000$ đồng.
B. $4.550.000$ đồng.
C. $3.100.000$ đồng.
D. $4.300.000$ đồng.
Chọn hệ trục $Oxy$ như hình
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& 2a=8 \\
& 2b=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=4 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $\left( {{E}_{1}} \right)$ là elip nhận $Ox$ làm trục lớn $\Rightarrow \left( {{E}_{1}} \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$
Và $\left( {{E}_{2}} \right)$ là elip nhận $Oy$ làm trục lớn $\Rightarrow \left( {{E}_{2}} \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1$
Tọa độ giao điểm của $\left( {{E}_{1}} \right)$ và $\left( {{E}_{2}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{16}{5} \\
& {{y}^{2}}=\dfrac{16}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\pm \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\
& y=\pm \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Phương trình đường tròn đi qua 4 giao điểm của $ \left( {{E}_{1}} \right) $ và $ \left( {{E}_{2}} \right) $ là $ (C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{32}{5} $ có bán kính $ R=4\sqrt{\dfrac{2}{5}}\Rightarrow $Diện tích hình tròn dùng để trồng cỏ: $ {{S}_{1}}=\pi {{R}^{2}}=\dfrac{32}{5}\pi ({{m}^{2}})\Rightarrow $Tiền trồng cỏ: $ {{T}_{1}}=100 000.{{S}_{1}}\approx 2\ 010\ 619$(đồng)
Một cánh hoa được giới hạn bởi đường $\left( {{E}_{2}} \right)$ có phần đồ thị từ phía trên trục $Ox:y=2\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ và nửa đường tròn $(C)$ từ phía trên trục $Ox:y=\sqrt{\dfrac{32}{5}-{{x}^{2}}}$ có diện tích
$S=\int\limits_{\dfrac{-4}{\sqrt{5}}}^{\dfrac{4}{\sqrt{5}}}{\left( 2\sqrt{4-{{x}^{2}}}-\sqrt{\dfrac{32}{5}-{{x}^{2}}} \right)dx}\approx 3.83064({{m}^{2}})$
Do tính đối xứng của hình nên diện tích của 4 cánh hoa đều bằng nhau $\Rightarrow $ diện tích của 4 cánh hoa: ${{S}_{2}}=4.S=15.32256({{m}^{2}})\Rightarrow $ Số tiền trồng hoa ${{T}_{2}}=150\ 000.{{S}_{2}}=2\ 298\ 384$ (đồng).
Tổng số tiền: $T={{T}_{1}}+{{T}_{2}}\approx 4\ 309\ 000$ (đồng)
A. $4.100.000$ đồng.
B. $4.550.000$ đồng.
C. $3.100.000$ đồng.
D. $4.300.000$ đồng.
Chọn hệ trục $Oxy$ như hình
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& 2a=8 \\
& 2b=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=4 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $\left( {{E}_{1}} \right)$ là elip nhận $Ox$ làm trục lớn $\Rightarrow \left( {{E}_{1}} \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$
Và $\left( {{E}_{2}} \right)$ là elip nhận $Oy$ làm trục lớn $\Rightarrow \left( {{E}_{2}} \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1$
Tọa độ giao điểm của $\left( {{E}_{1}} \right)$ và $\left( {{E}_{2}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{16}{5} \\
& {{y}^{2}}=\dfrac{16}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\pm \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\
& y=\pm \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Phương trình đường tròn đi qua 4 giao điểm của $ \left( {{E}_{1}} \right) $ và $ \left( {{E}_{2}} \right) $ là $ (C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{32}{5} $ có bán kính $ R=4\sqrt{\dfrac{2}{5}}\Rightarrow $Diện tích hình tròn dùng để trồng cỏ: $ {{S}_{1}}=\pi {{R}^{2}}=\dfrac{32}{5}\pi ({{m}^{2}})\Rightarrow $Tiền trồng cỏ: $ {{T}_{1}}=100 000.{{S}_{1}}\approx 2\ 010\ 619$(đồng)
Một cánh hoa được giới hạn bởi đường $\left( {{E}_{2}} \right)$ có phần đồ thị từ phía trên trục $Ox:y=2\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ và nửa đường tròn $(C)$ từ phía trên trục $Ox:y=\sqrt{\dfrac{32}{5}-{{x}^{2}}}$ có diện tích
$S=\int\limits_{\dfrac{-4}{\sqrt{5}}}^{\dfrac{4}{\sqrt{5}}}{\left( 2\sqrt{4-{{x}^{2}}}-\sqrt{\dfrac{32}{5}-{{x}^{2}}} \right)dx}\approx 3.83064({{m}^{2}})$
Do tính đối xứng của hình nên diện tích của 4 cánh hoa đều bằng nhau $\Rightarrow $ diện tích của 4 cánh hoa: ${{S}_{2}}=4.S=15.32256({{m}^{2}})\Rightarrow $ Số tiền trồng hoa ${{T}_{2}}=150\ 000.{{S}_{2}}=2\ 298\ 384$ (đồng).
Tổng số tiền: $T={{T}_{1}}+{{T}_{2}}\approx 4\ 309\ 000$ (đồng)
Đáp án D.