Hướng dẫn gõ công thức Toán trên diễn đàn

Mọi công thức Toán đều được đặt trong cặp thẻ đô là và có cấu trúc như sau:
PHẦN I: CÁC MÃ CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG


PHẦN II: CÁC VÍ DỤ CƠ BẢN

1. Phân số

Hiển thị: ${\displaystyle \frac{x+2007}{x+2008}}$
Hiển thị: ${\displaystyle \frac{x+2007}{x+2008}}$


2. Chỉ số trên, chỉ số dưới dưới
Hiển thị: $a_i$
Hiển thị: $a^n$
Kết hợp:
Hiển thị: $a_i^n$
Chỉ số trên dưới với nhiều kí tự:
Hiển thị: $a^{2007}$
Hiển thị: $a_{20072008}$
Hiển thị: $a_{2008}^{2007}$
Hiển thị: $a_1^n+a_2^{n+1}+a_3^{n+2}+...+a_{n+1}^{2n}$

3. Căn, mũ
Căn bậc 2:
Hiển thị: $\sqrt{a}$
Hiển thị: $\sqrt{2007}$
Căn bậc n:
Hiển thị: $\sqrt[n]{A}$
Hiển thị: $\sqrt[2007]{a}$
Mũ:
Hiển thị: $a^n$
Nhiều kí tự ở phần mũ:
Hiển thị: $a^{2007}$
Kết hợp căn, mũ. . V. . V:
Hiển thị: $\sqrt[2007]{a^{2008}}$

4. Tổng sigma, tích
Tổng:
Hiển thị: $\sum _{i=1}^k{a}_i^n$
Tích:
Hiển thị: $\prod _{i=1}^n{a}_u^k$

5. Tích phân
Mã:
Hiển thị:
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

6. Kí hiệu hình học
Vuông góc
Hiển thị: $\perp$
Song song
Hiển thị: $\parallel$
Kí hiệu góc:
Hiển thị: $\widehat{ABC}$

Bổ sung một số lệnh Latex thông dụng:
Hệ phương trình:
Hiển thị:
$$\{\begin{array}{l}f(x)=0\\ g(x)=0\end{array}$$
Dấu hoặc:
Hiển thị:
$$\{\begin{array}{}{}^2+y^2+z^2=3\\ xy+yz+zx=3\\ xyz=1\end{array}...................[\begin{array}{c}{x}^2+y^2+z^2=3\\ xy+yz+zx=3\\ xyz=1\end{array}$$

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x+y=2\end{array}$


$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x+y=2\\ x+y=3\end{array}$

A. B. C. D.

Sao mất chỗ gõ latex rồi vậy

Abcdef $x=1$ ghijk
Abcdef $x=1$ ghijk
Abcdef $$x=1$$ ghijk
Abcdef $$x=1$$ ghijk

Abcdef $x=1$ ghijk
Abcdef $x=1$ ghijk
Abcdef$$x=1$$ghijk
Abcdef $x=1$ ghijk

Solve $y^{\prime }(x)=a+b\cdot y(x)\cdot x$. When $x=0$ : $y=0$. And $a>0$, $b>0$
The solution to the differential equation $y^{\prime }(x)=a+bx\cdot y(x)$ with the initial condition $y(0)=0$ and given $a>0,b>0$ is:

$y(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi }a{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}\text{erf}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{b}x}{2}}\right)}{2\sqrt{b}}}$

Here, $\text{erf}$ denotes the error function.
Full solution:
Certainly! To solve the differential equation $y^{\prime }(x)=a+bx\cdot y(x)$ with the initial condition $y(0)=0$, and given $a>0,b>0$, we can follow these steps:


1. **Setting up the Equation:**
The given differential equation is a first-order linear ordinary differential equation:
$y^{\prime }(x)=a+bx\cdot y(x)$

2. **Rewriting in Standard Form:**
The standard form of a linear first-order differential equation is $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$. Here, we can rearrange our equation to match this form:
$y^{\prime }(x)-bx\cdot y(x)=a$

3. **Finding an Integrating Factor:**
The integrating factor for an equation of this form is $e^{\int -P(x)dx}$. In our case, $P(x)=-bx$, so the integrating factor is:
$\mu (x)=e^{\int bxdx}=e^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}$

4. **Multiplying Through by the Integrating Factor:**
We multiply every term in the standard form equation by the integrating factor:
$e^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}{y}^{\prime }-bx{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}y=a{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}$

5. **Recognizing the Left Side as a Derivative:**
The left-hand side of our equation is now the derivative of the product $\mu (x)y(x)$:
${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(e^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}y\right)=a{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}$

6. **Integrating Both Sides:**
We integrate both sides with respect to $x$:
$\int {\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(e^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}y\right)dx=\int a{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}dx$
$e^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}y=\int a{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}dx$

7. **Solving the Integral:**
The integral on the right side involves an exponential function of a quadratic, which is related to the error function $\text{erf}(x)$:
$\int a{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi }a\text{erf}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{b}x}{2}}\right)}{2\sqrt{b}}}+C$

8. **Solving for $y(x)$:**
Rearranging for $y(x)$, we get:
$y(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi }a\text{erf}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{b}x}{2}}\right)}{2\sqrt{b}{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}}}+{\displaystyle \frac{C}{e^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}}}$

9. **Applying the Initial Condition $y(0)=0$:**
When $x=0$, the error function $\text{erf}(0)$ is zero, simplifying our equation. Applying the initial condition, we find:
$0={\displaystyle \frac{C}{e^0}}$
$C=0$

10. **Final Solution:**
With $C=0$, the solution is:
$y(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi }a\text{erf}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{b}x}{2}}\right)}{2\sqrt{b}{e}^{{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}}}}$

This is the complete solution to the given differential equation with the specified initial condition.