Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[...

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)\le 0,\mathrm{\forall }x\in (0;1)\iff 12x^3+12(1-2m^2)x^2+12(m-2m^2)x+12m\le 0,\mathrm{\forall }x\in (0;1)$.
$\iff x^2(x+1)-2m^{2}x.(x+1)+m(x+1)\le 0,\mathrm{\forall }x\in (0;1)$.
$\iff (x+1)(x^2-2m^{2}x+m)\le 0,\mathrm{\forall }x\in (0;1)$.
Vì $x\in (0;1)\Rightarrow x+1>0$ nên yêu cầu bài toán $\iff \underset{g\left(x\right)}{\underbrace{x^2-2m^{2}x+m}}\le 0,\mathrm{\forall }x\in (0;1)$. (*)
Xét ${{\mathrm{\Delta }}_{g\left(x\right)}}^{\prime }=m^4-m$.
TH1: ${{\mathrm{\Delta }}_{g\left(x\right)}}^{\prime }<0$, do $a=1>0$ $\Rightarrow g\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ (không thỏa mãn).
TH2: ${{\mathrm{\Delta }}_{g\left(x\right)}}^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}& m=1\\ & m=0\end{array}$ (không thỏa mãn).
TH3: ${{\mathrm{\Delta }}_{g\left(x\right)}}^{\prime }>0\iff m^4-m>0\iff [\begin{array}{rl}& m>1\\ & m<0\end{array}$.
Khi đó $g\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ (giả sử $x_1<x_2$ ).
Ta có bảng xét dấu của $g\left(x\right)$ như sau:

Theo yêu cầu bài toán ta có $\{\begin{array}{rl}& g\left(0\right)\le 0\\ & g\left(1\right)\le 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 0\\ & 1-2m^2+m\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 0\\ & [\begin{array}{rl}& m\ge 1\\ & m\le -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\end{array}\iff m\le -{\displaystyle \frac{1}{2}}$
Do $\{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{Z}\\ & m\in [-20;20]\end{array}$ nên ta nhận $m\in \{-20;-19;...;-1\}$. Vậy có tất cả 20 giá trị thỏa mãn.