Google
Câu hỏi: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}+4\left( 1-2{{m}^{2}} \right){{x}^{3}}+6\left( m-2{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+12mx-1$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ ?
A. $2$.
B. $20$.
C. $19$.
D. $21$.
A. $2$.
B. $20$.
C. $19$.
D. $21$.
Ta có: $f'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 12{{x}^{3}}+12\left( 1-2{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+12\left( m-2{{m}^{2}} \right)x+12m\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+1 \right)-2{{m}^{2}}x.\left( x+1 \right)+m\left( x+1 \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
$\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2{{m}^{2}}x+m \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
Vì $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow x+1>0$ nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \underbrace{{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}x+m}_{g\left( x \right)}\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$. (*)
Xét ${{\Delta }_{g\left( x \right)}}^{\prime }={{m}^{4}}-m$.
TH1: ${{\Delta }_{g\left( x \right)}}^{\prime }<0$, do $a=1>0$ $\Rightarrow g\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ (không thỏa mãn).
TH2: ${{\Delta }_{g\left( x \right)}}^{\prime }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$ (không thỏa mãn).
TH3: ${{\Delta }_{g\left( x \right)}}^{\prime }>0\Leftrightarrow {{m}^{4}}-m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ (giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ).
Ta có bảng xét dấu của $g\left( x \right)$ như sau:
Theo yêu cầu bài toán ta có $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( 0 \right)\le 0 \\
& g\left( 1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& 1-2{{m}^{2}}+m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& m\le -\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -\dfrac{1}{2}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -20;20 \right] \\
\end{aligned} \right. $ nên ta nhận $ m\in \left\{ -20;-19;...;-1 \right\}$. Vậy có tất cả 20 giá trị thỏa mãn.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+1 \right)-2{{m}^{2}}x.\left( x+1 \right)+m\left( x+1 \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
$\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2{{m}^{2}}x+m \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
Vì $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow x+1>0$ nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \underbrace{{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}x+m}_{g\left( x \right)}\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$. (*)
Xét ${{\Delta }_{g\left( x \right)}}^{\prime }={{m}^{4}}-m$.
TH1: ${{\Delta }_{g\left( x \right)}}^{\prime }<0$, do $a=1>0$ $\Rightarrow g\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ (không thỏa mãn).
TH2: ${{\Delta }_{g\left( x \right)}}^{\prime }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$ (không thỏa mãn).
TH3: ${{\Delta }_{g\left( x \right)}}^{\prime }>0\Leftrightarrow {{m}^{4}}-m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ (giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ).
Ta có bảng xét dấu của $g\left( x \right)$ như sau:
Theo yêu cầu bài toán ta có $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( 0 \right)\le 0 \\
& g\left( 1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& 1-2{{m}^{2}}+m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& m\le -\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -\dfrac{1}{2}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -20;20 \right] \\
\end{aligned} \right. $ nên ta nhận $ m\in \left\{ -20;-19;...;-1 \right\}$. Vậy có tất cả 20 giá trị thỏa mãn.
Đáp án B.