Google
Câu hỏi: Hỏi có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho mỗi giá trị của $y$ có không quá $2021$ số nguyên $x$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}}+1 \right)-{{3}^{{{y}^{2}}+y-3x}}<0$ ?
A. $110$.
B. $111$.
C. $109$.
D. $108$.
A. $110$.
B. $111$.
C. $109$.
D. $108$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t-{{3}^{-3t+2{{y}^{2}}+y+3}}$ trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+{{3.3}^{-3t+2{{y}^{2}}+y+3}}.\ln 3>0 \forall t\in \left( 0 ; +\infty \right)$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Do có không quá $2021$ số nguyên $x$ nên có không quá $2021$ số nguyên của $t$
$\Rightarrow $ $t$ nguyên thuộc $\left[ 1 ; 2021 \right]$ thì $f\left( t \right)<0$ và $f\left( 2022 \right)>0$
$\Leftrightarrow $ ${{\log }_{2}}2022-{{3}^{2{{y}^{2}}+y-6060}}\ge 0$ $\Leftrightarrow $ $2{{y}^{2}}+y-6060-{{\log }_{3}}\left( {{\log }_{2}}2022 \right)\le 0$
Do $y$ nguyên nên $y\in \left\{ -55 ; -54 ; ... ; 54 \right\}$.
Vậy có $110$ số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+{{3.3}^{-3t+2{{y}^{2}}+y+3}}.\ln 3>0 \forall t\in \left( 0 ; +\infty \right)$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Do có không quá $2021$ số nguyên $x$ nên có không quá $2021$ số nguyên của $t$
$\Rightarrow $ $t$ nguyên thuộc $\left[ 1 ; 2021 \right]$ thì $f\left( t \right)<0$ và $f\left( 2022 \right)>0$
$\Leftrightarrow $ ${{\log }_{2}}2022-{{3}^{2{{y}^{2}}+y-6060}}\ge 0$ $\Leftrightarrow $ $2{{y}^{2}}+y-6060-{{\log }_{3}}\left( {{\log }_{2}}2022 \right)\le 0$
Do $y$ nguyên nên $y\in \left\{ -55 ; -54 ; ... ; 54 \right\}$.
Vậy có $110$ số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.