Google
Câu hỏi: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+2}$ trên khoảng $\left( -2;+\infty \right)$ là:
A. $x+3\ln \left( x+2 \right)+C$
B. $x-3\ln \left( x+2 \right)+C$
C. $x+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+C$
D. $x-\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+C$
A. $x+3\ln \left( x+2 \right)+C$
B. $x-3\ln \left( x+2 \right)+C$
C. $x+\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+C$
D. $x-\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+C$
Phương pháp:
- Chia tử cho mẫu.
- Sử dụng bảng nguyên hàm: $\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}dx}=\dfrac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C\left( n\ne 1 \right),\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{1}{ax+b}dx}=\dfrac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C.$
- Sử dụng điều kiện $x\in \left( -2;+\infty \right)$ để phá trị tuyệt đối.
Cách giải:
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{x+2-3}{x+2}=1-\dfrac{3}{x+2}.$
$\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 1-\dfrac{3}{x+2} \right)dx}=x-3\ln \left| x+2 \right|+C.$
Vì $x\in \left( -2;+\infty \right)\Rightarrow x+2>0.$
Vậy $\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=x-3\ln \left( x+2 \right)+C$,
- Chia tử cho mẫu.
- Sử dụng bảng nguyên hàm: $\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}dx}=\dfrac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C\left( n\ne 1 \right),\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{1}{ax+b}dx}=\dfrac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C.$
- Sử dụng điều kiện $x\in \left( -2;+\infty \right)$ để phá trị tuyệt đối.
Cách giải:
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{x+2-3}{x+2}=1-\dfrac{3}{x+2}.$
$\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 1-\dfrac{3}{x+2} \right)dx}=x-3\ln \left| x+2 \right|+C.$
Vì $x\in \left( -2;+\infty \right)\Rightarrow x+2>0.$
Vậy $\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=x-3\ln \left( x+2 \right)+C$,
Đáp án B.