Google
Câu hỏi: . Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\left( 1+2\sin x \right)$ là
A. ${{x}^{2}}-\left( 2x-2 \right)\sin x+C.$
B. ${{x}^{2}}-2x.\cos x+2\sin x+C.$
C. $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x.\cos x-2\sin x+C.$
D. $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x.\cos x+2\sin x+C.$
A. ${{x}^{2}}-\left( 2x-2 \right)\sin x+C.$
B. ${{x}^{2}}-2x.\cos x+2\sin x+C.$
C. $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x.\cos x-2\sin x+C.$
D. $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x.\cos x+2\sin x+C.$
Do hai hàm số khác nhau nên bài toán cần sử dụng nguyên hàm từng phần.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& x=u \\
& \sin xdu=dv \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& dx=du \\
& v=-\cos x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2\left( -x\cos x+\int{\cos xdx} \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x\cos x+2\sin x+C$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& x=u \\
& \sin xdu=dv \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& dx=du \\
& v=-\cos x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2\left( -x\cos x+\int{\cos xdx} \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x\cos x+2\sin x+C$.
Đáp án D.