Google
Câu hỏi: Hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}}$, nửa cung tròn $y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Thể tích tròn xoay tạo thành khi $\left( H \right)$ quay quanh trục hoành là $V=\dfrac{a}{b}\pi $, trong đó $a,b\in \mathbb{Z}$ và $\dfrac{a}{b}$ tối giản.
Giá trị $b-a$ bằng
A. 9.
B. 27.
C. 17.
D. 7.
Giá trị $b-a$ bằng
A. 9.
B. 27.
C. 17.
D. 7.
Ta có${{x}^{2}}=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \sqrt{2x-{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Chia $\left( H \right)$ thành 2 phần khi quay quanh trục hoành.
Phần 1: $\left( {{H}_{1}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& y={{x}^{2}} \\
& y=0 \\
& x=0;x=1 \\
\end{aligned} \right. $khi quay quanh trục hoành, có thể tích là $ {{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}dx=\left. \dfrac{\pi }{5}{{x}^{5}} \right|}_{0}^{1}=\dfrac{\pi }{5}.$
Phần 2: $\left( {{H}_{2}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}} \\
& y=0 \\
& x=1;x=2 \\
\end{aligned} \right. $khi quay quanh trục hoành là nửa hình cầu bán kính bằng 1 nên có thể tích là$ {{V}_{2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}\pi {{.1}^{3}}=\dfrac{3}{8}\pi .$
Vậy$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{23}{40}\pi \Rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{23}{40}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=23 \\
& b=40 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b-a=17.$
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \sqrt{2x-{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Chia $\left( H \right)$ thành 2 phần khi quay quanh trục hoành.
Phần 1: $\left( {{H}_{1}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& y={{x}^{2}} \\
& y=0 \\
& x=0;x=1 \\
\end{aligned} \right. $khi quay quanh trục hoành, có thể tích là $ {{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}dx=\left. \dfrac{\pi }{5}{{x}^{5}} \right|}_{0}^{1}=\dfrac{\pi }{5}.$
Phần 2: $\left( {{H}_{2}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}} \\
& y=0 \\
& x=1;x=2 \\
\end{aligned} \right. $khi quay quanh trục hoành là nửa hình cầu bán kính bằng 1 nên có thể tích là$ {{V}_{2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}\pi {{.1}^{3}}=\dfrac{3}{8}\pi .$
Vậy$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{23}{40}\pi \Rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{23}{40}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=23 \\
& b=40 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b-a=17.$
Đáp án C.