Hình phẳng $\left(H\right)$ được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm...

Giả sử hàm bậc 3 là $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c$
Do đồ thị hàm số đạt cực đại tại $A(0;2)$ và cực tiểu tại $B(2;-2)$ nên ta có hệ
$\{\begin{array}{rl}& f\left(0\right)=2\\ & f^{\prime }\left(0\right)=0\\ & f\left(2\right)=-2\\ & f^{\prime }\left(2\right)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& d=2\\ & c=0\\ & 8\text{a}+4b+2=-2\\ & 12\text{a}+4b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& d=2\\ & c=0\\ & a=1\\ & b=-3\end{array}$. Từ đây ta suy ra $f\left(x\right)=x^3-3{\text{x}}^2+2$.
Gọi phương trình $\left(P\right)$ là $y=g\left(x\right)$ thế thì $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(f(x)-g(x))d\text{x}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(g(x)-f(x))d\text{x}$
Vì $f\left(x\right)$ là hàm bậc ba, còn $g\left(x\right)$ là hàm bậc hai mà hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ là $x=-1$ ; $x=1$ ; $x=2$ nên $f\left(x\right)-g\left(x\right)=(x+1)(x-1)(x-2)=x^3-2{\text{x}}^2-x+2$.
Vậy $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(x^3-2{\text{x}}^2-x+2)d\text{x}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}-(x^3-2{\text{x}}^2-x+2)d\text{x}={\displaystyle \frac{37}{12}}$.