Hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm...

Giả sử hàm bậc 3 là $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Do đồ thị hàm số đạt cực đại tại $A\left( 0;2 \right)$ và cực tiểu tại $B\left( 2;-2 \right)$ nên ta có hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=2 \\
& {f}'\left( 0 \right)=0 \\
& f\left( 2 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=2 \\
& c=0 \\
& 8\text{a}+4b+2=-2 \\
& 12\text{a}+4b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=2 \\
& c=0 \\
& a=1 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right. $. Từ đây ta suy ra $ f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+2$.
Gọi phương trình $\left( P \right)$ là $y=g\left( x \right)$ thế thì $S=\int\limits_{-1}^{1}{\left( f(x)-g(x) \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{\left( g(x)-f(x) \right)d\text{x}}$
Vì $f\left( x \right)$ là hàm bậc ba, còn $g\left( x \right)$ là hàm bậc hai mà hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ là $x=-1$ ; $x=1$ ; $x=2$ nên $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)={{x}^{3}}-2{{\text{x}}^{2}}-x+2$.
Vậy $S=\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-2{{\text{x}}^{2}}-x+2 \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{-\left( {{x}^{3}}-2{{\text{x}}^{2}}-x+2 \right)d\text{x}}=\dfrac{37}{12}$.