Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ ...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức

z

thỏa mãn

| z - 3 | + | z + 3 | = 10

có diện tích bằng
A.

20 π

.
B.

15 π

.
C.

12 π

.
D.

25 π

.

 Gọi

z = x + y i (x; y \in R)

thì mô đun

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Biến đổi giả thiết để có quỹ tích là elip

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

.
Diện tích elip bằng

π . a b

.
Gọi

z = x + y i (x; y \in R)

ta có

| z - 3 | + | z + 3 | = 10

\Leftrightarrow | x - 3 + y i | + | x + 3 + y i | = 10 \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}} = 10

\Leftrightarrow \sqrt{(x - 3)^{2} + y^{2}} = 10 - \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}}

\Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = 100 - 20 \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} + x^{2} + 6 x + 9 + y^{2}

\Leftrightarrow 5 \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} = 3 x + 25 \Leftrightarrow 25 (x^{2} + 6 x + 9 + y^{2}) = 9 x^{2} + 150 x + 625

\Leftrightarrow 25 x^{2} + 16 y^{2} = 400 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1

.
Quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

là elip

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1 \Rightarrow a = 4; b = 5

.
Diện tích elip là:

S = π a b = 20 π

.

Đáp án A.

Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức z...