Google
Câu hỏi: Hình nón $\left( N \right)$ có đỉnh $S$, tâm đường tròn đáy là $O$, góc ở đỉnh bằng $120{}^\circ $. Một mặt phẳng qua $S$ cắt hình nón $\left( N \right)$ theo thiết diện là tam giác vuông $SAB$. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$ bằng $3$. Tính thể tích của hình nón $\left( N \right)$.
A. $27\pi $.
B. $27$.
C. $9\pi $.
D. $9$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Khi đó $OH\bot AB$.
Theo đề bài ta có tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, $OH=3$ và $\widehat{BSO}=60{}^\circ $.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường sinh $l=SB=\dfrac{r}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}$.
Vì tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $AB=SB\sqrt{2}=\dfrac{2r\sqrt{6}}{3}$, suy ra $BH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{r\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác $OBH$ vuông tại $H$, ta có $O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=O{{B}^{2}}\Leftrightarrow 9+\dfrac{6{{r}^{2}}}{9}={{r}^{2}}\Leftrightarrow r=3\sqrt{3}$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $S$ có $SH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2r\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{2}$.
Do đó $h=SO=\sqrt{S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{3}^{2}}}=3$.
Vậy thể tích của khối nón đã cho là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}}.3=27\pi $.
A. $27\pi $.
B. $27$.
C. $9\pi $.
D. $9$.
Theo đề bài ta có tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, $OH=3$ và $\widehat{BSO}=60{}^\circ $.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường sinh $l=SB=\dfrac{r}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}$.
Vì tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $AB=SB\sqrt{2}=\dfrac{2r\sqrt{6}}{3}$, suy ra $BH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{r\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác $OBH$ vuông tại $H$, ta có $O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=O{{B}^{2}}\Leftrightarrow 9+\dfrac{6{{r}^{2}}}{9}={{r}^{2}}\Leftrightarrow r=3\sqrt{3}$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $S$ có $SH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2r\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{2}$.
Do đó $h=SO=\sqrt{S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{3}^{2}}}=3$.
Vậy thể tích của khối nón đã cho là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}}.3=27\pi $.
Đáp án A.