Google
Câu hỏi: Hình nón $\left( N \right)$ có đỉnh $S$, tâm đường tròn đáy là $O$, góc ở đỉnh bằng ${{120}^{{}^\circ }}$. Một mặt phẳng qua $S$ và cắt hình nón $\left( N \right)$ theo thiết diện là tam giác vuông $SAB$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$ bằng $3$. Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình nón $\left( N \right)$ bằng
A. ${{S}_{xq}}=27\sqrt{3}\pi $.
B. ${{S}_{xq}}=36\sqrt{3}\pi $.
C. ${{S}_{xq}}=18\sqrt{3}\pi $.
D. ${{S}_{xq}}=9\sqrt{3}\pi $.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ $\Rightarrow OH\bot AB$.
Mà $SO\bot OH$ $\Rightarrow d\left( AB; SO \right)=OH=3$.
Gọi đường sinh của hình nón là $x$ $\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow SA=x$.
Xét tam giác $SOA$ vuông tại $O$ ta có: $SO=SA.\cos \widehat{ASO}$ $\Rightarrow SO=x.\cos 60{}^\circ =\dfrac{x}{2}$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow AB=x\sqrt{2}$ $\Rightarrow SH=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác $SOH$ vuông tại $O$ ta có: $S{{H}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+9$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=36$ $\Leftrightarrow x=6$.
$\Rightarrow $ $OA=SA.\sin \widehat{ASO}$ $\Rightarrow OA=6.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
Vậy diện tích xung quanh hình nón bằng: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi 3\sqrt{3}.6=18\pi \sqrt{3}$.
A. ${{S}_{xq}}=27\sqrt{3}\pi $.
B. ${{S}_{xq}}=36\sqrt{3}\pi $.
C. ${{S}_{xq}}=18\sqrt{3}\pi $.
D. ${{S}_{xq}}=9\sqrt{3}\pi $.
Mà $SO\bot OH$ $\Rightarrow d\left( AB; SO \right)=OH=3$.
Gọi đường sinh của hình nón là $x$ $\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow SA=x$.
Xét tam giác $SOA$ vuông tại $O$ ta có: $SO=SA.\cos \widehat{ASO}$ $\Rightarrow SO=x.\cos 60{}^\circ =\dfrac{x}{2}$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow AB=x\sqrt{2}$ $\Rightarrow SH=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác $SOH$ vuông tại $O$ ta có: $S{{H}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+9$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=36$ $\Leftrightarrow x=6$.
$\Rightarrow $ $OA=SA.\sin \widehat{ASO}$ $\Rightarrow OA=6.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
Vậy diện tích xung quanh hình nón bằng: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi 3\sqrt{3}.6=18\pi \sqrt{3}$.
Đáp án C.