Hình nón $(N)$ có đỉnh $S$ , tâm đường tròn đáy là...

The Knowledge · 14/3/22

Câu hỏi: Hình nón

(N)

có đỉnh

S

, tâm đường tròn đáy là

O

, góc ở đỉnh bằng

120^{^{\circ}}

. Một mặt phẳng qua

S

và cắt hình nón

(N)

theo thiết diện là tam giác vuông

S A B

. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

A B

và

S O

bằng

3

. Diện tích xung quanh

S_{x q}

của hình nón

(N)

bằng
A.

S_{x q} = 27 \sqrt{3} π

.
B.

S_{x q} = 36 \sqrt{3} π

.
C.

S_{x q} = 18 \sqrt{3} π

.
D.

S_{x q} = 9 \sqrt{3} π

.

Gọi

H

là trung điểm của cạnh

A B

\Rightarrow O H ⊥ A B

.
Mà

S O ⊥ O H

\Rightarrow d (A B; S O) = O H = 3

.
Gọi đường sinh của hình nón là

x

(x > 0)

\Rightarrow S A = x

.
Xét tam giác

S O A

vuông tại

O

ta có:

S O = S A . \cos \hat{A S O}

\Rightarrow S O = x . \cos 60^{\circ} = \frac{x}{2}

Tam giác

S A B

vuông cân tại

S

\Rightarrow A B = x \sqrt{2}

\Rightarrow S H = \frac{x \sqrt{2}}{2}

.
Xét tam giác

S O H

vuông tại

O

ta có:

S H^{2} = S O^{2} + O H^{2}

\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4} + 9

\Leftrightarrow x^{2} = 36

\Leftrightarrow x = 6

.

\Rightarrow

O A = S A . \sin \hat{A S O}

\Rightarrow O A = 6. \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}

.
Vậy diện tích xung quanh hình nón bằng:

S_{x q} = π r l = π 3 \sqrt{3} .6 = 18 π \sqrt{3}

.

Đáp án C.

Hình nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là...