Google
Câu hỏi: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh 2a, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $, hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) trùng với trung điểm I của BO, $SI=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng
A. $\dfrac{3a\sqrt{3}}{5}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{5}$
D. $\dfrac{4a\sqrt{3}}{5}$
A. $\dfrac{3a\sqrt{3}}{5}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{5}$
D. $\dfrac{4a\sqrt{3}}{5}$
Ta có $BI\cap \left( SCD=\left\{ D \right\} \right)$, suy ra $d\left( B, \left( SCD \right) \right)=\dfrac{4}{3}d\left( I, \left( SCD \right) \right)$
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ $IK\bot CD$ tại K.
Trong mặt phẳng (SIK), kẻ $IH\bot SK$ tại H $\Rightarrow IH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( I, \left( SCD \right) \right)=IH$
Xét tam giác IDK vuông tại K ta có $\widehat{BDC}=30{}^\circ $
$\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}ID=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.BO=\dfrac{3}{4}a\sqrt{3}$ (do tam giác ABC đều cạnh 2a nên $BO=a\sqrt{3}$ )
Ta có: $\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{S}^{2}}}=\dfrac{16}{27{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{25}{27{{a}^{2}}}\Rightarrow IH=\dfrac{3a\sqrt{3}}{5}$
Vậy $d\left( B, \left( SCD \right) \right)=\dfrac{4}{3}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{5}=\dfrac{4a\sqrt{3}}{5}$
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ $IK\bot CD$ tại K.
Trong mặt phẳng (SIK), kẻ $IH\bot SK$ tại H $\Rightarrow IH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( I, \left( SCD \right) \right)=IH$
$\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}ID=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.BO=\dfrac{3}{4}a\sqrt{3}$ (do tam giác ABC đều cạnh 2a nên $BO=a\sqrt{3}$ )
Ta có: $\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{S}^{2}}}=\dfrac{16}{27{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{25}{27{{a}^{2}}}\Rightarrow IH=\dfrac{3a\sqrt{3}}{5}$
Vậy $d\left( B, \left( SCD \right) \right)=\dfrac{4}{3}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{5}=\dfrac{4a\sqrt{3}}{5}$
Đáp án D.