Google
Câu hỏi: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, $\widehat{BAD}={{60}^{o}},\left( SCD \right)$ và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , góc giữa SC và mặt đáy ABCD bằng 45°. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD.
A. $\dfrac{7\pi }{2}.$
B. $\dfrac{7\pi }{4}.$
C. $\dfrac{7\pi }{6}.$
D. $\dfrac{7\pi }{3}.$
Ta có $\left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCD}={{45}^{o}}.$
Tam giác SCD vuông tại D ta có
$\tan {{45}^{o}}=\dfrac{SD}{CD}\Rightarrow SD=1.$
Tam giác BCD là tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp BCD bằng
${{R}_{Day}}=OC=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
Gọi Rs là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
${{R}_{s}}=\sqrt{{{R}_{Day}}^{2}+{{\left( \dfrac{SD}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}.$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD bằng: $S=4\pi R_{S}^{2}=4\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{21}}{6} \right)}^{2}}=\dfrac{7\pi }{3}$ (đvdt)
A. $\dfrac{7\pi }{2}.$
B. $\dfrac{7\pi }{4}.$
C. $\dfrac{7\pi }{6}.$
D. $\dfrac{7\pi }{3}.$
Ta có $\left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCD}={{45}^{o}}.$
Tam giác SCD vuông tại D ta có
$\tan {{45}^{o}}=\dfrac{SD}{CD}\Rightarrow SD=1.$
Tam giác BCD là tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp BCD bằng
${{R}_{Day}}=OC=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
Gọi Rs là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
${{R}_{s}}=\sqrt{{{R}_{Day}}^{2}+{{\left( \dfrac{SD}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}.$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD bằng: $S=4\pi R_{S}^{2}=4\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{21}}{6} \right)}^{2}}=\dfrac{7\pi }{3}$ (đvdt)
Đáp án D.