Hình chóp S.ABC có SA = 2a, SB = 3a,SC = 4a và $\widehat{ASB}$ =...

Trên SB , SC lần lượt lấy B , C sao cho SB = SC = 2 a .
$\left\{ \begin{aligned}
& SA=SC' \\
& ASC'={{90}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta $SAC vuông cân tại S $ AC'=SA\sqrt{2}=2a\sqrt{2}$
$\left\{ \begin{aligned}
& SA=SB' \\
& ASB'={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta $ SAB đều AB = 2 a (1).
$\left\{ \begin{aligned}
& SB=SC \\
& B'SC'={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta $ SB Cđều BC = 2a (2).
(1) và (2) cho ta △ AB 'C cân tại B.
Gọi Hlà trung điểm của AC BH⊥AC .
$B'H=\sqrt{AB{{'}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{AB{{'}^{2}}-{{\left( \dfrac{AC'}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SH \\
& AH\bot HB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SHB' \right)$
Ta có:
${{S}_{AB'C}}=2.{{S}_{AB'H}}\Rightarrow {{V}_{S.AB'C'}}=2{{V}_{S.AHB'}}=2.\dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{SHB'}}$
${{S}_{SHB'}}=\sqrt{p\left( p-SH \right)\left( p-SB' \right)\left( p-HB' \right)}={{a}^{2}}$
Với $p=\dfrac{SH+SB'+HB'}{2}=\left( 1+\sqrt{2} \right)a$
$\Rightarrow {{V}_{S.AB'C'}}=2.\dfrac{1}{3}.a\sqrt{2}{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
$\dfrac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}=\dfrac{2a}{3a}.\dfrac{2a}{4a}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=2{{a}^{3}}\sqrt{2}$