Hệ số lớn nhất của biểu thức $P\left( x \right)=\left( 1+x...

Khi đó $P\left( x \right)=\left( x+1 \right){{\left( 1+2x \right)}^{17}}=\left( 1+x \right)\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}}+\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}}$
Suy ra hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển là $C_{17}^{k}{{2}^{k}}+C_{17}^{k-1}{{2}^{k-1}}$
Hệ số của ${{x}^{k}}$ lớn nhất khi $\left\{ \begin{aligned}
& C_{17}^{k}{{2}^{k}}+C_{17}^{k-1}{{2}^{k-1}}\ge C_{17}^{k+1}{{2}^{k+1}}+C_{17}^{k}{{2}^{k}} \\
& C_{17}^{k}{{2}^{k}}+C_{17}^{k-1}{{2}^{k-1}}\ge C_{17}^{k-1}{{2}^{k-1}}+C_{17}^{k-2}{{2}^{k-2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& C_{17}^{k-1}{{2}^{k-1}}\ge C_{17}^{k+1}{{2}^{k+1}} \\
& C_{17}^{k}{{2}^{k}}\ge C_{17}^{k-2}{{2}^{k-2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{\left( k-1 \right)!.\left( 18-k \right)!}\ge \dfrac{{{2}^{2}}}{\left( k+1 \right)!.\left( 16-k \right)!} \\
& \dfrac{{{2}^{2}}}{k!.\left( 17-k \right)!}\ge \dfrac{1}{\left( k-2 \right)!.\left( 19-k \right)!} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{\left( 18-k \right)\left( 17-k \right)}\ge \dfrac{4}{k\left( k+1 \right)} \\
& \dfrac{4}{\left( k-1 \right)k}\ge \dfrac{1}{\left( 18-k \right)\left( 19-k \right)} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{k}^{2}}-141k+1224\le 0 \\
& 3{{k}^{2}}-147k+1368\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{k\in {{\mathbb{N}}^{*}}}k=12$
Vậy hệ số lớn nhất cần tìm là $C_{17}^{12}{{2}^{12}}=C_{17}^{11}{{2}^{11}}=50692096$