Google
Câu hỏi: Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}};\left( x>0 \right)$ biết
$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$ là
A. 1303.
B. 313.
C. 495.
D. 13129.
$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$ là
A. 1303.
B. 313.
C. 495.
D. 13129.
Điều kiện: $n\in \mathbb{N}$
Ta có: $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left( n+4 \right)!}{\left( n+1 \right)!3!}-\dfrac{\left( n+3 \right)!}{n!3!}=7\left( n+3 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)\left( n+2 \right)}{6}-\dfrac{\left( n+3 \right)\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}{6}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow 3n=36\Leftrightarrow n=12.$
Xét khai triển
${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{k}}{{\left( \sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{12-k}} \left( 0\le k\le 12,k\in \mathbb{N} \right)=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{\dfrac{60-11k}{2}}}}}.$
Để số hạng chứa ${{x}^{8}}$ thì $\dfrac{60-11k}{2}=8\Leftrightarrow k=4.$
Vậy hệ số chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triên trên là $C_{12}^{4}=495.$
Ta có: $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left( n+4 \right)!}{\left( n+1 \right)!3!}-\dfrac{\left( n+3 \right)!}{n!3!}=7\left( n+3 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)\left( n+2 \right)}{6}-\dfrac{\left( n+3 \right)\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}{6}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow 3n=36\Leftrightarrow n=12.$
Xét khai triển
${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{k}}{{\left( \sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{12-k}} \left( 0\le k\le 12,k\in \mathbb{N} \right)=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{\dfrac{60-11k}{2}}}}}.$
Để số hạng chứa ${{x}^{8}}$ thì $\dfrac{60-11k}{2}=8\Leftrightarrow k=4.$
Vậy hệ số chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triên trên là $C_{12}^{4}=495.$
Đáp án C.