Google
Câu hỏi: Hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển $P\left( x \right)={{\left( 1+2{{x}^{2}} \right)}^{12}}$ thành đa thức là
A. 162270
B. 162720
C. 126270
D. 126720
A. 162270
B. 162720
C. 126270
D. 126720
Ta có khai triển $P\left( x \right)=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{2k}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{{{a}_{k}}{{x}^{2k}}}}$ với ${{a}_{k}}=C_{12}^{k}{{2}^{k}}$
• ${{a}_{k+1}}>{{a}_{k}}\Leftrightarrow C_{12}^{k}{{2}^{k+1}}>C_{12}^{k}{{2}^{k}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{k+1}>\dfrac{1}{12-k}\Leftrightarrow k<\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow k\le 7$
Như vậy ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<....<{{a}_{8}}$.
• ${{a}_{k+1}}<{{a}_{k}}\Leftrightarrow C_{12}^{k}{{2}^{k+1}}<C_{12}^{k}{{2}^{k}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{k+1}<\dfrac{1}{12-k}\Leftrightarrow k>\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow k\ge 8$
Như vậy ${{a}_{8}}>{{a}_{9}}>{{a}_{10}}>....>{{a}_{12}}$. Vậy hệ số có giá trị lớn nhất là ${{a}_{8}}=C_{12}^{8}{{2}^{8}}=126720$
• ${{a}_{k+1}}>{{a}_{k}}\Leftrightarrow C_{12}^{k}{{2}^{k+1}}>C_{12}^{k}{{2}^{k}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{k+1}>\dfrac{1}{12-k}\Leftrightarrow k<\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow k\le 7$
Như vậy ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<....<{{a}_{8}}$.
• ${{a}_{k+1}}<{{a}_{k}}\Leftrightarrow C_{12}^{k}{{2}^{k+1}}<C_{12}^{k}{{2}^{k}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{k+1}<\dfrac{1}{12-k}\Leftrightarrow k>\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow k\ge 8$
Như vậy ${{a}_{8}}>{{a}_{9}}>{{a}_{10}}>....>{{a}_{12}}$. Vậy hệ số có giá trị lớn nhất là ${{a}_{8}}=C_{12}^{8}{{2}^{8}}=126720$
Đáp án D.