Google
Câu hỏi: Hạt nhân X phóng xạ biến đổi thành hạt nhân Y. Ban đầu (t = 0), có một mẫu chất X nguyên chất. Tại thời điểm $~{{t}_{1}}$ và ${{t}_{2}}$, tỉ số giữa số hạt nhân Y và số hạt nhân X ở trong mẫu tương ứng là 2 và 3. Tại thời điểm $\text{ }{{t}_{3}}={{t}_{1}}+3{{t}_{2}}$ tỉ số đó là:
A. 575
B. 72
C. 17
D. 191
A. 575
B. 72
C. 17
D. 191
Phương pháp:
Số hạt còn lại: $N\left( t \right)=~{{N}_{0}}{{.2}^{-\dfrac{t}{T}}}$
Số hạt bị phân rã: $\Delta N\left( t \right)=~{{N}_{0}}\left( 1-{{2}^{-\dfrac{t}{T}}} \right)$
Số hạt nhân Y tạo thành bằng số hạt nhân X bị phân rã.
Cách giải:
Ta có: Số hạt nhân Y tạo thành bằng số hạt nhân X bị phân rã
Tại thời điểm ${{t}_{1}}$ ta có:
$\dfrac{{{N}_{Y}}\left( {{t}_{1}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{1}} \right)}=\dfrac{\Delta {{N}_{X}}\left( {{t}_{1}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{1}} \right)}=\dfrac{1-{{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}}=2\Rightarrow {{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}=\dfrac{1}{3}\text{ }$
Tại thời điểm ${{t}_{2}}$ ta có:
$\dfrac{{{N}_{Y}}\left( {{t}_{2}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{2}} \right)}=\dfrac{\Delta {{N}_{X}}\left( {{t}_{2}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{2}} \right)}=\dfrac{1-{{2}^{\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}}}=2\Rightarrow {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}}=\dfrac{1}{4}$
Tại thời điểm ${{t}_{3}}={{t}_{1}}+3{{t}_{2}}$ ta có:
$\dfrac{{{N}_{Y}}\left( {{t}_{3}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{3}} \right)}=\dfrac{\Delta {{N}_{X}}\left( {{t}_{3}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{3}} \right)}=\dfrac{1-{{2}^{\dfrac{{{t}_{3}}}{T}}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{3}}}{T}}}}=\dfrac{1-{{2}^{\dfrac{{{t}_{1+3{{t}_{2}}}}}{T}}}}{{{2}^{\dfrac{{{t}_{1}}+3{{t}_{2}}}{T}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{{{N}_{Y}}\left( {{t}_{3}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{3}} \right)}=\dfrac{1-{{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}.{{\left( {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}} \right)}^{3}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}.{{\left( {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}} \right)}^{3}}}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3}.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{3}}}{\dfrac{1}{3}.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{3}}}=191$
Số hạt còn lại: $N\left( t \right)=~{{N}_{0}}{{.2}^{-\dfrac{t}{T}}}$
Số hạt bị phân rã: $\Delta N\left( t \right)=~{{N}_{0}}\left( 1-{{2}^{-\dfrac{t}{T}}} \right)$
Số hạt nhân Y tạo thành bằng số hạt nhân X bị phân rã.
Cách giải:
Ta có: Số hạt nhân Y tạo thành bằng số hạt nhân X bị phân rã
Tại thời điểm ${{t}_{1}}$ ta có:
$\dfrac{{{N}_{Y}}\left( {{t}_{1}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{1}} \right)}=\dfrac{\Delta {{N}_{X}}\left( {{t}_{1}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{1}} \right)}=\dfrac{1-{{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}}=2\Rightarrow {{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}=\dfrac{1}{3}\text{ }$
Tại thời điểm ${{t}_{2}}$ ta có:
$\dfrac{{{N}_{Y}}\left( {{t}_{2}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{2}} \right)}=\dfrac{\Delta {{N}_{X}}\left( {{t}_{2}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{2}} \right)}=\dfrac{1-{{2}^{\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}}}=2\Rightarrow {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}}=\dfrac{1}{4}$
Tại thời điểm ${{t}_{3}}={{t}_{1}}+3{{t}_{2}}$ ta có:
$\dfrac{{{N}_{Y}}\left( {{t}_{3}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{3}} \right)}=\dfrac{\Delta {{N}_{X}}\left( {{t}_{3}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{3}} \right)}=\dfrac{1-{{2}^{\dfrac{{{t}_{3}}}{T}}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{3}}}{T}}}}=\dfrac{1-{{2}^{\dfrac{{{t}_{1+3{{t}_{2}}}}}{T}}}}{{{2}^{\dfrac{{{t}_{1}}+3{{t}_{2}}}{T}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{{{N}_{Y}}\left( {{t}_{3}} \right)}{{{N}_{X}}\left( {{t}_{3}} \right)}=\dfrac{1-{{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}.{{\left( {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}} \right)}^{3}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{T}}}.{{\left( {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{T}}} \right)}^{3}}}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3}.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{3}}}{\dfrac{1}{3}.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{3}}}=191$
Đáp án D.