Google
Câu hỏi: Hàm số $y={{\left( x+m \right)}^{3}}+{{\left( x+n \right)}^{3}}-{{x}^{3}}$ (tham số $m,n$ ) đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right).$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)-m-n$ bằng
A. $\dfrac{-1}{16}$
B. $-16$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. 4.
A. $\dfrac{-1}{16}$
B. $-16$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. 4.
Ta có $y'=3{{x}^{2}}+6\left( m+n \right)x+3\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)$.
Để hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta '=2mn\le 0\Leftrightarrow mn\le 0.$
$P=4\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)-m-n=4{{\left( m+n \right)}^{2}}-\left( m+n \right)-8mn={{\left[ 2\left( m+n \right)-\dfrac{1}{4} \right]}^{2}}-8mn-\dfrac{1}{16}.$
Vì $mn\le 0\Rightarrow P\ge -\dfrac{1}{16}.$
Dấu bằng xảy ra khi $2\left( m+n \right)-\dfrac{1}{4}=0;m.n=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{8};n=0 \\
& m=0;n=\dfrac{1}{8} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=4\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)-m-n$ bằng $\dfrac{-1}{16}.$
Để hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta '=2mn\le 0\Leftrightarrow mn\le 0.$
$P=4\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)-m-n=4{{\left( m+n \right)}^{2}}-\left( m+n \right)-8mn={{\left[ 2\left( m+n \right)-\dfrac{1}{4} \right]}^{2}}-8mn-\dfrac{1}{16}.$
Vì $mn\le 0\Rightarrow P\ge -\dfrac{1}{16}.$
Dấu bằng xảy ra khi $2\left( m+n \right)-\dfrac{1}{4}=0;m.n=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{8};n=0 \\
& m=0;n=\dfrac{1}{8} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=4\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)-m-n$ bằng $\dfrac{-1}{16}.$
Đáp án A.