Google
Câu hỏi: Hàm số $y=f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x)=\mathrm{e}^{2 x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x}$.
A. $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
B. $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
C. $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=2 \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
D. $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=2 \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}+C$.
A. $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
B. $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
C. $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=2 \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
D. $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=2 \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}+C$.
Vì hàm số $y=f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x)=\mathrm{e}^{2 x}$ nên ta có: $f(x)=(F(x))^{\prime}=2 \mathrm{e}^{2 x}$.
Khi đó: $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\int \dfrac{2 \mathrm{e}^{2 x}+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\int\left(2 \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right) d x=2 \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
Khi đó: $\int \dfrac{f(x)+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\int \dfrac{2 \mathrm{e}^{2 x}+1}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\int\left(2 \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right) d x=2 \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
Đáp án C.