Hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Số nghiệm...

$f\left( {{e}^{f(x)}}+f(x) \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{f(x)}}+f(x)=1 \\
& {{e}^{f(x)}}+f(x)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{f(x)}}=1-f(x)\ \left( 1 \right) \\
& {{e}^{f(x)}}=-1-f(x)\ \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t=f\left( x \right),\ \left( t\le 1 \right)\ $. Khi đó (1) trở thành ${{e}^{t}}=1-t\ \left( 3 \right),\ \left( t\le 1 \right)$.
Khi đó (2) trở thành ${{e}^{t}}=-1-t\ \left( 4 \right),\ \left( t\le 1 \right)$.
Số nghiệm của (3) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y={{e}^{t}}$ và $y=1-t\ ,\ \left( t\le 1 \right)$
Số nghiệm của (4) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y={{e}^{t}}$ và $y=-1-t\ ,\ \left( t\le 1 \right)$
Dựa vào đồ thị phương trình (3) có 1 nghiệm $t=0$ hay $f\left( x \right)=0$ có 4 nghiệm phâm biệt
Dựa vào đồ thị phương trình (4) có 1 nghiệm $t={{t}_{1}}\ \left( -2<{{t}_{1}}<-1 \right)$ hay $f\left( x \right)={{t}_{1}}$ có 2 nghiệm phâm biệt
Vậy phương trình $f\left(e^{f(x)}+f(x)\right)=1$ có 6 nghiệm phân biệt.