Google
Câu hỏi: Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2021$. Trong các mệnh đề dưới đây:
(I) $g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$.
(II) $\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
(III) Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -3;-1 \right)$.
(IV) $\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}$.
Số mệnh đề đúng là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2021$. Trong các mệnh đề dưới đây:
(I) $g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$.
(II) $\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
(III) Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -3;-1 \right)$.
(IV) $\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}$.
Số mệnh đề đúng là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)$.
Trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ ta vẽ thêm đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có
Khi $x\in \left( -3;-1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$, khi $x\in \left( -1;1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)>{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$.
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -3;1 \right]$ như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Vì trên $\left[ 0;1 \right]$ hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến nên $g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$, do đó (I) đúng.
Từ BBT ta có $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$, do đó (II) đúng.
Từ BBT ta thấy (III) đúng.
$\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}$.
Trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ ta vẽ thêm đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có
Khi $x\in \left( -3;-1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$, khi $x\in \left( -1;1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)>{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$.
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -3;1 \right]$ như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Vì trên $\left[ 0;1 \right]$ hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến nên $g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$, do đó (I) đúng.
Từ BBT ta có $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$, do đó (II) đúng.
Từ BBT ta thấy (III) đúng.
$\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}$.
Đáp án D.