Google
Câu hỏi: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ -4; 4 \right]$, có các điểm cực trị trên khoảng $\left( -4; 4 \right)$ là $-3; -\dfrac{4}{3}; 0; 2$ và có đồ thị như hình vẽ.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+3x \right)+m$ với $m$ là tham số. Gọi ${{m}_{1}}$ là giá trị của $m$ để $\underset{x\in \left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=2023$, ${{m}_{2}}$ là giá trị của $m$ để $\underset{x\in \left[ -1; 0 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=2004$. Giá trị của ${{m}_{1}}-{{m}_{2}}$ bằng
A. $12.$
B. $13.$
C. $11.$
D. $15.$
A. $12.$
B. $13.$
C. $11.$
D. $15.$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+3 \right).{f}'\left( {{x}^{3}}+3x \right)$
Cho ${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow {f}'\left( {{x}^{3}}+3x \right)=0$ $\Rightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+3x=-3 \\
& {{x}^{3}}+3x=-\dfrac{4}{3} \\
& {{x}^{3}}+3x=0 \\
& {{x}^{3}}+3x=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\approx -0,82 \\
& x\approx -0,42 \\
& x=0 \\
& x\approx 0,6 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy: $\left. \begin{aligned}
& \underset{x\in \left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+m=2023\Rightarrow m=2020 \\
& \underset{x\in \left[ -1; 0 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)=f\left( -4 \right)+m=2004\Rightarrow m=2005 \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow {{m}_{1}}-{{m}_{2}}=2020-2005=15.$
Cho ${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow {f}'\left( {{x}^{3}}+3x \right)=0$ $\Rightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+3x=-3 \\
& {{x}^{3}}+3x=-\dfrac{4}{3} \\
& {{x}^{3}}+3x=0 \\
& {{x}^{3}}+3x=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\approx -0,82 \\
& x\approx -0,42 \\
& x=0 \\
& x\approx 0,6 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy: $\left. \begin{aligned}
& \underset{x\in \left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+m=2023\Rightarrow m=2020 \\
& \underset{x\in \left[ -1; 0 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)=f\left( -4 \right)+m=2004\Rightarrow m=2005 \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow {{m}_{1}}-{{m}_{2}}=2020-2005=15.$
Đáp án D.