Google
Câu hỏi: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ a;b \right]$, đồng thời $f\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ a;b \right]$ thỏa mãn các điều kiện $\int\limits_{{{e}^{\dfrac{a}{2}}}}^{{{e}^{\dfrac{b}{2}}}}{{f}'\left( \ln {{\text{x}}^{2}} \right)\dfrac{1}{x}.d\text{x}=6}$ và $\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}.d\text{x}=\ln 7}.$ Giá trị $2f\left( b \right)-5f\left( a \right)$ bằng
A. 18.
B. 9.
C. 12.
D. 13.
A. 18.
B. 9.
C. 12.
D. 13.
Đặt $t=\ln {{x}^{2}}=2\ln x\Rightarrow \dfrac{1}{2}dt=\dfrac{1}{x}dx;$ đổi cận $x={{e}^{\dfrac{b}{2}}}\Rightarrow t=b$ và $x={{e}^{\dfrac{a}{2}}}\Rightarrow t=a$
Khi đó $6=\int\limits_{{{e}^{\dfrac{a}{2}}}}^{{{e}^{\dfrac{b}{2}}}}{{f}'\left( \ln {{x}^{2}} \right)\dfrac{1}{x}.dx=\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{1}{2}{f}'\left( t \right)dt}}\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( t \right)dt=12\Rightarrow f\left( b \right)-f\left( a \right)=12\left( 1 \right)}$
Lại có $\ln 7=\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx=\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{d\left( f\left( x \right) \right)}{f\left( x \right)}}=\ln \left| f\left( x \right) \right|\mathop{|}_{a}^{b}\Rightarrow \ln f\left( b \right)-\ln f\left( a \right)=\ln 7\Rightarrow f\left( b \right)=7f\left( a \right)\left( 2 \right)$
Giải hệ gồm (1) và (2) ta được: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( b \right)=14 \\
& f\left( a \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2f\left( b \right)-5f\left( a \right)=18.$
Khi đó $6=\int\limits_{{{e}^{\dfrac{a}{2}}}}^{{{e}^{\dfrac{b}{2}}}}{{f}'\left( \ln {{x}^{2}} \right)\dfrac{1}{x}.dx=\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{1}{2}{f}'\left( t \right)dt}}\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( t \right)dt=12\Rightarrow f\left( b \right)-f\left( a \right)=12\left( 1 \right)}$
Lại có $\ln 7=\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx=\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{d\left( f\left( x \right) \right)}{f\left( x \right)}}=\ln \left| f\left( x \right) \right|\mathop{|}_{a}^{b}\Rightarrow \ln f\left( b \right)-\ln f\left( a \right)=\ln 7\Rightarrow f\left( b \right)=7f\left( a \right)\left( 2 \right)$
Giải hệ gồm (1) và (2) ta được: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( b \right)=14 \\
& f\left( a \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2f\left( b \right)-5f\left( a \right)=18.$
Đáp án A.