Google
Câu hỏi: Hàm số $y=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-mx+1$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi
A. $m\in (1;+\infty )$.
B. $m\in [1;+\infty )$.
C. $m\in [0;+\infty )$.
D. $m\in (0;+\infty )$.
A. $m\in (1;+\infty )$.
B. $m\in [1;+\infty )$.
C. $m\in [0;+\infty )$.
D. $m\in (0;+\infty )$.
Hàm số $y=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-mx+1$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
${y}'=-{{x}^{2}}+2x-m$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi ${y}'\le 0$, $\forall x\in (0;+\infty )$
Hay $-{{x}^{2}}+2x-m\le 0,\forall x\in (0;+\infty )$ $\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}+2x,\forall x\in (0;+\infty )(1)$
Xét hàm số $g(x)=-{{x}^{2}}+2x$ trên $(0 ;+\infty )$. Có ${g}'(x)=-2x+2$ ; ${g}'(x)=0\Leftrightarrow x=1$.
Từ bảng biến thiên ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge 1$.
Vậy với $m\ge 1$ hay $m\in [1;+\infty )$ thì hàm số $y=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-mx+1$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$
${y}'=-{{x}^{2}}+2x-m$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi ${y}'\le 0$, $\forall x\in (0;+\infty )$
Hay $-{{x}^{2}}+2x-m\le 0,\forall x\in (0;+\infty )$ $\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}+2x,\forall x\in (0;+\infty )(1)$
Xét hàm số $g(x)=-{{x}^{2}}+2x$ trên $(0 ;+\infty )$. Có ${g}'(x)=-2x+2$ ; ${g}'(x)=0\Leftrightarrow x=1$.
Từ bảng biến thiên ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge 1$.
Vậy với $m\ge 1$ hay $m\in [1;+\infty )$ thì hàm số $y=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-mx+1$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$
Đáp án B.