Google
Câu hỏi: Hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+6x+1$ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ 1 ; 3 \right]$ lần lượt tại hai điểm ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$. Khi đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ bằng
A. $2$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $3$.
A. $2$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $3$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
${y}'={{x}^{2}}-5x+6$ ; ${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2\in \left[ 1;3 \right] \\
& x=3\in \left[ 1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $y\left( 1 \right)=\dfrac{29}{6}$, $y\left( 2 \right)=\dfrac{17}{3}$, $y\left( 3 \right)=\dfrac{11}{2}$.
Do đó, $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{17}{3}\Leftrightarrow x=2 \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=\dfrac{29}{6}\Leftrightarrow x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ 1 ; 3 \right]$ lần lượt tại hai điểm ${{x}_{1}}=2$ và ${{x}_{2}}=1$ $\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$.
${y}'={{x}^{2}}-5x+6$ ; ${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2\in \left[ 1;3 \right] \\
& x=3\in \left[ 1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $y\left( 1 \right)=\dfrac{29}{6}$, $y\left( 2 \right)=\dfrac{17}{3}$, $y\left( 3 \right)=\dfrac{11}{2}$.
Do đó, $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{17}{3}\Leftrightarrow x=2 \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=\dfrac{29}{6}\Leftrightarrow x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ 1 ; 3 \right]$ lần lượt tại hai điểm ${{x}_{1}}=2$ và ${{x}_{2}}=1$ $\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$.
Đáp án D.