Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số $y = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ trên $\left(-\infty ;-1 \right)\cup...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số

y = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}

trên

(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty) ?

A.

y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} .

B.

y = \frac{x^{2} + x - 1}{x + 1} .

C.

y = \frac{x^{2}}{x + 1} .

D.

y = \frac{x^{2} - x - 1}{x + 1} .

Ta có:

\int_{}^{} \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}} d x = \int_{}^{} \frac{[(x + 1) - 1] [(x + 1) - 1]}{{(x + 1)}^{2}} d x = \int_{}^{} \frac{{(x + 1)}^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}} d x = \int_{}^{} [1 - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}] d x = x + \frac{1}{x + 1} + C

Khi đó:

y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = \frac{x (x + 1) + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} + 0

là nguyên hàm của hàm số đã cho.

y = \frac{x^{2}}{x + 1} = \frac{(x^{2} - 1) + 1}{x + 1} = \frac{(x - 1) (x + 1) + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} - 1

là nguyên hàm của hàm số đã cho.

y = \frac{x^{2} - x - 1}{x + 1} = \frac{x^{2} - x - 2 + 1}{x + 1} = \frac{(x - 2) (x + 1) + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} - 2

là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Vậy hàm số

y = \frac{x^{2} + x - 1}{x + 1}

không phải là nguyên hàm của hàm số

y = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}} .

Đáp án B.

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số y=x(2+x)(x+1)2 trên $\left(-\infty ;-1 \right)\cup...