Google
Câu hỏi: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{x\left(2+x \right)}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}$ trên $\left(-\infty ;-1 \right)\cup \left(-1;+\infty \right)?$
A. $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}.$
B. $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x+1}.$
C. $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{x+1}.$
D. $y=\dfrac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}.$
A. $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}.$
B. $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x+1}.$
C. $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{x+1}.$
D. $y=\dfrac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}.$
Ta có:
$\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x\left(2+x \right)}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{\left[ \left(x+1 \right)-1 \right]\left[ \left(x+1 \right)-1 \right]}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{\left(x+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left[ 1-\dfrac{1}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}} \right]dx}=x+\dfrac{1}{x+1}+C$
Khi đó:
$y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}=\dfrac{x\left(x+1 \right)+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}+0$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
$y=\dfrac{{{x}^{2}}}{x+1}=\dfrac{\left({{x}^{2}}-1 \right)+1}{x+1}=\dfrac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}-1$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
$y=\dfrac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}=\dfrac{{{x}^{2}}-x-2+1}{x+1}=\dfrac{\left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}-2$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Vậy hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x+1}$ không phải là nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{x\left(2+x \right)}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}.$
$\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x\left(2+x \right)}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{\left[ \left(x+1 \right)-1 \right]\left[ \left(x+1 \right)-1 \right]}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{\left(x+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left[ 1-\dfrac{1}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}} \right]dx}=x+\dfrac{1}{x+1}+C$
Khi đó:
$y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}=\dfrac{x\left(x+1 \right)+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}+0$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
$y=\dfrac{{{x}^{2}}}{x+1}=\dfrac{\left({{x}^{2}}-1 \right)+1}{x+1}=\dfrac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}-1$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
$y=\dfrac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}=\dfrac{{{x}^{2}}-x-2+1}{x+1}=\dfrac{\left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}-2$ là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Vậy hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x+1}$ không phải là nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{x\left(2+x \right)}{{{\left(x+1 \right)}^{2}}}.$
Đáp án B.