Google
Câu hỏi: Hàm số $f(x)=-x^{3}+3 x^{2}+(2 m-1) x-1$ nghịch biến trên khoàng $(0 ;+\infty)$ khi và chì khi
A. $m\le -3$.
B. $m\le -1$.
C. $m\le 1$.
D. $m \leq 3$
A. $m\le -3$.
B. $m\le -1$.
C. $m\le 1$.
D. $m \leq 3$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đặt $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x-1$ có đạo hàm ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x+2m-1$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow 2m\le 3{{x}^{2}}-6x+1,\ \ \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+1$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ có ${g}'\left( x \right)=6x-6$ ; ${g}'\left( x \right)=0\ \Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=-2$.
Do đó $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ $2m\le \underset{\left( -1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$ $\Leftrightarrow 2m\le -2\Leftrightarrow m\le -1$. Vậy $m\le -1$ thoả yêu cầu bài toán.
Đặt $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x-1$ có đạo hàm ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x+2m-1$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow 2m\le 3{{x}^{2}}-6x+1,\ \ \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+1$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ có ${g}'\left( x \right)=6x-6$ ; ${g}'\left( x \right)=0\ \Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên:
Do đó $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ $2m\le \underset{\left( -1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$ $\Leftrightarrow 2m\le -2\Leftrightarrow m\le -1$. Vậy $m\le -1$ thoả yêu cầu bài toán.
Đáp án B.