Google
Câu hỏi: Hàm số $F(x)$ nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số $y=\sqrt[3]{x+1}$ ?
A. $F(x)=\dfrac{3}{8}{{(x+1)}^{\dfrac{4}{3}}}+C$
B. $F(x)=\dfrac{4}{3}\sqrt[3]{{{(x+1)}^{4}}}+C$
C. $F(x)=\dfrac{3}{4}(x+1)\sqrt[3]{x+1}+C$
D. $F(x)=\dfrac{3}{4}\sqrt[4]{{{(x+1)}^{3}}}+C$
A. $F(x)=\dfrac{3}{8}{{(x+1)}^{\dfrac{4}{3}}}+C$
B. $F(x)=\dfrac{4}{3}\sqrt[3]{{{(x+1)}^{4}}}+C$
C. $F(x)=\dfrac{3}{4}(x+1)\sqrt[3]{x+1}+C$
D. $F(x)=\dfrac{3}{4}\sqrt[4]{{{(x+1)}^{3}}}+C$
Cách 1: Ta có: $I=\int{\sqrt[3]{x+1}dx}$.
Đặt: $t=\sqrt[3]{x+1}\Rightarrow {{t}^{3}}=x+1\Rightarrow 3{{t}^{2}}dt=d\text{x}$.
$\Rightarrow I=\int{t.3{{t}^{2}}dt}=\int{3{{t}^{3}}dt}=\dfrac{3}{4}{{t}^{4}}+C=\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{{{(x+1)}^{4}}}+C=\dfrac{3}{4}(x+1)\sqrt[3]{x+1}+C$.
Vậy $F(x)=\dfrac{3}{4}(x+1)\sqrt[3]{x+1}+C$.
Cách 2: Có thể "giải nhanh" như sau:
$F(x)=\int{\sqrt[3]{x+1}d\text{x}}=\int{{{(x+1)}^{\dfrac{1}{3}}}d(x+1)}=\dfrac{3}{4}{{(x+1)}^{\dfrac{4}{3}}}+C=\dfrac{3}{4}(x+1)\sqrt[3]{x+1}+C$.
Đặt: $t=\sqrt[3]{x+1}\Rightarrow {{t}^{3}}=x+1\Rightarrow 3{{t}^{2}}dt=d\text{x}$.
$\Rightarrow I=\int{t.3{{t}^{2}}dt}=\int{3{{t}^{3}}dt}=\dfrac{3}{4}{{t}^{4}}+C=\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{{{(x+1)}^{4}}}+C=\dfrac{3}{4}(x+1)\sqrt[3]{x+1}+C$.
Vậy $F(x)=\dfrac{3}{4}(x+1)\sqrt[3]{x+1}+C$.
Cách 2: Có thể "giải nhanh" như sau:
$F(x)=\int{\sqrt[3]{x+1}d\text{x}}=\int{{{(x+1)}^{\dfrac{1}{3}}}d(x+1)}=\dfrac{3}{4}{{(x+1)}^{\dfrac{4}{3}}}+C=\dfrac{3}{4}(x+1)\sqrt[3]{x+1}+C$.
Đáp án C.