Google
Câu hỏi: Hàm số $f\left( x \right)$ thỏa:$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)>0 \\
& {{\text{e}}^{1-{{x}^{2}}}}\left[ 6f\left( x \right)+{f}'\left( x \right) \right]=\left( 8{{x}^{2}}+12x+4 \right)\sqrt{f\left( x \right)} \\
\end{aligned} \right.,\forall x>0 $ và $ f\left( 1 \right)=4 $. Hình phẳng được giới hạn bởi $ y=\sqrt{f\left( x \right)} $, $ x=1,x=3 $ và trục hoành có diện tích bằng $ m.{{\text{e}}^{n}}+p $, trong đó $ m,n,p\in \mathbb{Z}$. Hệ thức nào sau đây đúng?
A. $2m+n+p=6.$
B. $5m-n-3p=0.$
C. $3m+n-p=15.$
D. $3m+2n-p=19.$
& f\left( x \right)>0 \\
& {{\text{e}}^{1-{{x}^{2}}}}\left[ 6f\left( x \right)+{f}'\left( x \right) \right]=\left( 8{{x}^{2}}+12x+4 \right)\sqrt{f\left( x \right)} \\
\end{aligned} \right.,\forall x>0 $ và $ f\left( 1 \right)=4 $. Hình phẳng được giới hạn bởi $ y=\sqrt{f\left( x \right)} $, $ x=1,x=3 $ và trục hoành có diện tích bằng $ m.{{\text{e}}^{n}}+p $, trong đó $ m,n,p\in \mathbb{Z}$. Hệ thức nào sau đây đúng?
A. $2m+n+p=6.$
B. $5m-n-3p=0.$
C. $3m+n-p=15.$
D. $3m+2n-p=19.$
Ta có: ${{\text{e}}^{1-{{x}^{2}}}}\left[ 6f\left( x \right)+{f}'\left( x \right) \right]=\left( 8{{x}^{2}}+12x+4 \right)\sqrt{f\left( x \right)}$
$\begin{aligned}
& {{\text{e}}^{1-{{x}^{2}}}}\left[ \dfrac{6f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}} \right]=8{{x}^{2}}+12x+4\Leftrightarrow 2{{\text{e}}^{1-{{x}^{2}}}}\left[ 3\sqrt{f\left( x \right)}+\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}} \right]=8{{x}^{2}}+12x+4 \\
& \Leftrightarrow {{\text{e}}^{1-3x-{{x}^{2}}}}\left[ 3{{e}^{3x}}\sqrt{f\left( x \right)}+{{e}^{3x}}\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}} \right]=4{{x}^{2}}+6x+2 \\
& \Leftrightarrow 3{{e}^{3x}}\sqrt{f\left( x \right)}+{{e}^{3x}}\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}=\left( 4{{x}^{2}}+6x+2 \right){{\text{e}}^{{{x}^{2}}+3x-1}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{e}^{3x}}\sqrt{f\left( x \right)} \right)}^{'}}={{\left( \text{2}x\text{.}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}+3x-1}} \right)}^{'}} \\
& \Leftrightarrow {{e}^{3x}}\sqrt{f\left( x \right)}=\text{2}x\text{.}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}+3x-1}}+C \\
\end{aligned}$
Mà $f\left( 1 \right)=4\Rightarrow C=0$.Từ đó: $\sqrt{f\left( x \right)}=2x.{{e}^{{{x}^{2}}-1}}$.
Hình phẳng được giới hạn bởi $y=\sqrt{f\left( x \right)}$, $x=1,x=3$ và trục hoành với $f\left( x \right)>0$ :
$S=\int\limits_{1}^{3}{\left| 2x.{{e}^{{{x}^{2}}-1}} \right|dx}=\int\limits_{1}^{3}{2x.{{e}^{{{x}^{2}}-1}}dx}=\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{{{x}^{2}}-1}}}d\left( {{x}^{2}}-1 \right)={{e}^{{{x}^{2}}-1}}|_{1}^{3}={{e}^{8}}-1$.
Từ đó $m=1,n=8,p=-1$
$\begin{aligned}
& {{\text{e}}^{1-{{x}^{2}}}}\left[ \dfrac{6f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}} \right]=8{{x}^{2}}+12x+4\Leftrightarrow 2{{\text{e}}^{1-{{x}^{2}}}}\left[ 3\sqrt{f\left( x \right)}+\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}} \right]=8{{x}^{2}}+12x+4 \\
& \Leftrightarrow {{\text{e}}^{1-3x-{{x}^{2}}}}\left[ 3{{e}^{3x}}\sqrt{f\left( x \right)}+{{e}^{3x}}\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}} \right]=4{{x}^{2}}+6x+2 \\
& \Leftrightarrow 3{{e}^{3x}}\sqrt{f\left( x \right)}+{{e}^{3x}}\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}=\left( 4{{x}^{2}}+6x+2 \right){{\text{e}}^{{{x}^{2}}+3x-1}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{e}^{3x}}\sqrt{f\left( x \right)} \right)}^{'}}={{\left( \text{2}x\text{.}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}+3x-1}} \right)}^{'}} \\
& \Leftrightarrow {{e}^{3x}}\sqrt{f\left( x \right)}=\text{2}x\text{.}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}+3x-1}}+C \\
\end{aligned}$
Mà $f\left( 1 \right)=4\Rightarrow C=0$.Từ đó: $\sqrt{f\left( x \right)}=2x.{{e}^{{{x}^{2}}-1}}$.
Hình phẳng được giới hạn bởi $y=\sqrt{f\left( x \right)}$, $x=1,x=3$ và trục hoành với $f\left( x \right)>0$ :
$S=\int\limits_{1}^{3}{\left| 2x.{{e}^{{{x}^{2}}-1}} \right|dx}=\int\limits_{1}^{3}{2x.{{e}^{{{x}^{2}}-1}}dx}=\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{{{x}^{2}}-1}}}d\left( {{x}^{2}}-1 \right)={{e}^{{{x}^{2}}-1}}|_{1}^{3}={{e}^{8}}-1$.
Từ đó $m=1,n=8,p=-1$
Đáp án B.